Variables aléatoires discrètes

Nous donnons des exercices corrigés sur les variables aléatoires discrètes. Ce sont des variables aléatoires avec des valeurs dans un ensemble dénombrable (fini ou infini). Nous vous proposons des exercices corrigés sur ces variables. Ce cours est un préliminaire de probabilité.

Exercices corrigés sur les variables aléatoires discrètes

Loi de variable aléatoires

Exercice: Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres $p$ et $q$ éléments de $]0,1[$.

Calculer $\mathbb{P}(X>n)$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Determiner la loi de $Z=\min(X,Y)$.

Solution: On rappelle qu’une variable aléatoire $X$ suit une loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$ lorsque celle-ci est a valeurs dans $\mathbb{N}^\ast$ et vérifie: \begin{align*} \mathbb{P}(X=n)=(1-p)^{n-1}p,\quad \forall n\in\mathbb{N}.\end{align*}

On a \begin{align*} (X>n)=\bigcup_{k=n+1}^{+\infty}(X=k).\end{align*} En déduit donc \begin{align*} \mathbb{P}(X>n)&=\sum_{k=n+1}^{+\infty} \mathbb{P}(X=k)\cr &=\sum_{k=n+1}^{+\infty} (1-p)^{k-1}p\cr &= (1-p)^np \sum_{m=0}^{+\infty}(1-q)^m\cr &= (1-p)^np \frac{1}{1-(1-p)}\cr &= (1-p)^n.\end{align*}
Notez que $Z$ est une variable aléatoire puisque c’est la composition de du variable aléatoire $(X,y)$ avec la fonction $\min$ définie sur $\mathbb{R}^2$. Soit $n\in \mathbb{N}$ et calculons $\mathbb{P}(Z=n)$. On remarque tout d’abord que\begin{align*} (Z>n-1)=\left((Z=n)\cup (Z>n)\right).\end{align*} Donc on déduit que \begin{align*} \mathbb{P}(Z=n)=\mathbb{P}(Z>n-1)-\mathbb{P}(Z>n).\end{align*} De plus on a \begin{align*} \mathbb{P}(Z>n)&=\mathbb{P}(X>n,Y>n)=\mathbb{P}(X>n)\mathbb{P}(Y>n)\cr & = (1-p)^n(1-q)^n,\end{align*} d’après la question précédente. Ainsi \begin{align*}\mathbb{P}(Z=n)&=(1-p)^{n-1}(1-q)^{n-1}-(1-p)^n(1-q)^n\cr & =r(1-r)^{n-1},\end{align*} avec $r=p+q-pq$. Cela implique que la variable aléatoire $Z$ suit une loi géométrique de paramètre $r$.

Exercice: Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres $\lambda$ et $\mu$ strictement positifs.