Entrez dans le monde des groupes monogènes et cycliques, deux concepts fondamentaux en algèbre. Ce cours offre un résumé complet et des exercices corrigés pour maîtriser ces structures essentielles.
Résumé de cours sur les groupes monogènes et cycliques
En première année de classes préparatoires et à l’université, vous avez déjà abordé les concepts de groupes et de sous-groupes. Dans cette section, nous allons approfondir et étendre votre compréhension de ces concepts essentiels.
Groupe engendré par une partie
On commence par rappeler le résultat suivant :
Si $G$ est un groupe et $(H_i)_{i\in I}$ une famille de sous groupes de $G$. Alors $\cap_{i\in I} H_i$ est un sous groupe de $G$.
Considérons un ensemble $X$ inclus dans le groupe $G$, et soit $(H_i)_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de $G$ tels que $X$ soit inclus dans chaque $H_i$ pour tout $i\in I$. Dans ce contexte, définissons $\langle X\rangle$ comme l’intersection de tous les $H_i$. C’est un sous-groupe de $G$ qui englobe $X$ et qui est le plus petit sous-groupe contenant $X$, communément appelé le sous-groupe engendré par l’ensemble $X$. De plus on dit que $X$ est une partie génératrice,
Si $G$ est un groupe et $X$ une partie non vide $G$. Alors \begin{align*} \langle X\rangle=\{x^{\tau_1}_1 x^{\tau_1}_1\cdots x^{\tau_n}_n &| x_i\in X,\; \tau_i=\pm 1,\cr &i=1,\cdots,n,\; n\in\mathbb{N}^\ast\}.\end{align*}
Groupe monogène, groupe cyclique
On définit un groupe monogène comme étant un groupe dont l’ensemble générateur se réduit à un seul élément. Ainsi, selon le résultat précédent, si $G$ est un groupe multiplicatif, alors le groupe monogène engendré par un élément $x$ est donné par l’ensemble $\langle x\rangle=\{ x^n: n\in\mathbb{Z}\}$. En revanche, si le groupe $G$ est additif, alors $\langle x\rangle$ se présente comme l’ensemble $\{ nx: n\in\mathbb{Z}\}$. Cette distinction est fondamentale pour comprendre la structure des groupes monogènes.
On appelle groupe cyclique, tout groupe monogene et fini.
Order d’un élément dans un groupe
Soit $G$ un groupe (multiplicatif) d’élément neutre $e$. Alors un élément $x$ de $G$ est dit d’ordre fini s’il existe $k\in \mathbb{N}^\ast$ tel que $x^k=e$. Plus précisement, on appelle ordre de $x$ le plus petit entier $n\in \mathbb{N}^\ast$ tel que $x^n=e$. De plus, on a les propriétés suivantes:
Soit $G$ un groupe et $x\in G$. Alors on a
- Si $x$ est d’ordre $d$, alors le groupe engendré par $x$ est de cardinal $d,$ ($|\langle x\rangle|=d$). Autrement dit $$\langle x\rangle=\{x^k:k=0,\cdots,d-1\}.$$
- Lorsque l’ordre de $x$ égale a $d$, alors pour tout $n\in\mathbb{Z},$ on a $x^n=e$ si et seulememt si $d|n$.
- Si $G$ est un groupe fini, tout élément $a$ de $G$ est d’ordre fini divisant $|G|$.
Exercices corriges sur les groupes monogènes et cycliques
Nous proposons ici une collection d’exercices sur les groupes monogènes et cycliques.
Groupes cycliques classiques
Exercice 1: ⭐⭐☆☆☆ Montrer qu’un groupe monogène est isomorphe, soit à $\mathbb{Z}$, soit à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ pour un entier.
Considérons un groupe $G$ avec un élément $x \in G$. Nous savons que $\langle x\rangle={ x^n: n\in\mathbb{Z}}$. Maintenant, définissons l’application $f:\mathbb{Z}\to G$ telle que $f(k)=x^k$. Il est immédiat de constater que $f$ est un morphisme de groupe. De plus, par construction, $f$ est surjective.
Examinons le noyau de $f$, noté $\ker(f)$. Ce noyau est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$. Par conséquent, $\ker(f)$ est de la forme $\ker(f)=n\mathbb{Z}$, où $n$ est un entier naturel. Si $n=0$, alors le noyau de $f$ se réduit à l’élément neutre, et cela signifie que $f$ est injective. Ainsi, $f$ est bijective, ce qui établit que $\langle x\rangle$ est isomorphe à $\mathbb{Z}$.
Maintenant, lorsque $n\geq 1$, le morphisme $f$ induit un isomorphisme $\overline{f}$ entre le groupe quotient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et le groupe monogène $\langle x\rangle$, défini par $\overline{f}(\overline{k})=x^k$. La surjectivité de $\overline{f}$ est évidente, car tout élément de $\langle x\rangle$ peut être atteint par $x^k$.
De plus, si $\overline{f}(\overline{k})=0$ dans $\langle x\rangle$, cela signifie que $x^k=e$ dans $G$, où $e$ est l’élément neutre. Cela conduit à $k\in \ker(f)=n\mathbb{Z}$. Ainsi, $\overline{k}=\overline{0}$, montrant ainsi que $\overline{f}$ est également injective.
Cette explication clarifie davantage comment le morphisme $f$ induit un isomorphisme entre $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et $\langle x\rangle$ dans le cas où $n\geq 1$.
Exercice 2: ⭐☆☆☆☆ Montrer que le groupe additif $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ n’est pas monogène.
Par l’absurde, supposons qu’il existent $a,b\in \mathbb{Z}^\ast$ tels que $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}=\langle (a,b)\rangle$. Comme $(0,1)$ et $(1,0)$ sont dans $\langle (a,b)\rangle$, ils existent $p,q\in\mathbb{Z}$ tels que $(0,1)=(pa,pb)$ et $(1,0)=(qa,qb)$. En particulier, $qa =1,$ et donc $a\neq 0$. D’autre part, on a aussi $pa=0$, ce qui implique $p=0$. C’est une contraduction avec le fait que $pb=1$.
Atour du groupe des rationnels
Exercice 3: ⭐⭐⭐☆☆ Soit $\mathbb{Q}$ l’ensemble de tous les rationels.
- Montrer que le groupe additif $(\mathbb{Q},+)$ n’est pas monogène.
- En déduire que le groupe additif $\mathbb{R}$ n’est pas monogène.
- Montrer que $\mathbb{Q}$ est engendré par l’ensemble $(\frac{1}{n!})_{n\ge 1}$.
- Montrer que tout sous-groupe monogène non nul de $\mathbb{Q}$ est infini.
- Montrer que tout sous-groupe de type fini, non nul, de $\mathbb{Q}$ est isomorphe a $\mathbb{Z}$.
- Supposons par absurde que $\mathbb{Q}$ soit un groupe monogène. Par exemple, on peut supposer qu’il est généré par un élément de la forme $\frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ sont des entiers dans $\mathbb{Z}$ avec $q\neq 0 $ et $p$ sont premiers avec $q$. Comme $\frac{1}{2q}\in \mathbb{Q}$, alors par hypothèse il existe $n\in \mathbb{Z}$ tel que $\frac{1}{2q}=n\frac{ p}{q}$, ce qui donne $2np=1$ en $\mathbb{Z}$. C’est absurde car $2np$ est pair.
- Supposons que $\mathbb{R}$ soit monogène, donc isomorphe à $\mathbb{Z}$ car il est infini, selon exercice 1. Ainsi le sous-groupe $\mathbb{Q}$ est isomorphe à un sous-groupe de $\mathbb{Z}$ qui est de la forme $n\mathbb{Z}$. D’autre part, on sait que l’application $\mathbb{Z}\to n\mathbb{Z}$ définie par $f(k)=nk$ est un isomorphisme. Donc $\mathbb{Q}$ serait isomorphe à $\mathbb{Z}$, ainsi $\mathbb{Q}$ serait monogène puisque $\mathbb{Z}$ est monogène. D’après la question 1, c’est impossible.
- Soit $x\in \mathbb{Q}$ tel que $x=\frac{m}{n}$ avec $n\ge 1$ et $m\in \mathbb{Z}$. On peut aussi écrire $$ x= k \frac{1}{n!},\qquad k=m(n-1)!\in\mathbb{Z}.$$ Cela montre que $\mathbb{Q}$ est généré par des éléments de la forme $\frac{1}{n!}$ avec $n\ge 1$.
Sous groupe d’un groupe cyclique
Exercice: ⭐⭐⭐☆☆ Montrez que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est lui-même cyclique.
Soit $G$ un groupe cyclique engendré par un élément $g$ et $H$ un sous groupe non trivial de $G=\langle g\rangle$. Soit $h\in H$ l’un de ces éléments non triviaux, donc $h\in G$. Par suite, $h = g^l\in H$ pour un certain entier non nul $l$. Par suite l’ensemble $$\Omega:=\{k\in\mathbb{N}^\ast | g^k\in H\}$$ est non vide. Elle est aussi minoré par $0$ donc admet un minimum $d$. Par les propriétés de groupe, on a évidement $\langle g^d\rangle\subset H$.
Maintenant nous allons montrer que $H\subset \langle g^d\rangle$. En effet, si $x\in H\subset G=\langle g\rangle$, alors il existe un entier non nul $\ell$ tel que $x=g^\ell$. La division de $\ell$ par $d$ donne $\ell=k d+r$ avec $0\le r < d$. Ainsi $$ g^r =g^{\ell} (g^d)^{-k}\in H.$$ Ceci montrer que $r\in \Omega$, c est une contraduction avec le fait que $d=\min\Omega$ et $r < d$. Donc $r=0$ et par suite $\ell=k d$. Donc $x=(g^d)^k\in \langle g\rangle$.
Groupe cyclique complexe
Exercice: ⭐⭐⭐☆☆ On pose $$U_n=\{z\in \mathbb{C}^\ast : z^n=1\}.$$
- Montrer que $U_n$ est un sous-groupe cyclique d’ordre $n$ de $\mathbb{C}^\ast$ engendré par $e^{\frac{2i\pi}{n}}$.
- Soit $a,b$ deux entiers naturels. On pose $d={\rm pgcd}(a,b)$ et $m={\rm ppcm}(a,b)$. Soit $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ un multiple commun de $a$ et $b$. On note $\rho=e^{\frac{2i\pi}{n}}$. Montrer que$$\langle \rho^a \rangle \cap\langle \rho^b\rangle=\langle \rho^m\rangle\quad\text{et}\quad \langle \rho^a,\rho^b\rangle=\langle \rho^d\rangle.$$
- Montrer que la réunion de tous les $U_n$ est un sous-groupe de $\mathbb{C}^\ast$. Est-il de type fini (c’est-à-dire engendré par un nombre fini d’éléments)? Justifier.
- Soit $z=re^{i\theta}$ avec $r>0$ et $\theta\in \mathbb{R}$. On a\begin{align*}z\in U_n &\;\Longleftrightarrow\; z^n=r^n e^{i\theta}=1 \cr & \;\Longleftrightarrow\; r=1,\; n\theta\in 2\pi\mathbb{Z}\cr & \;\Longleftrightarrow\; r=1,\; \theta\in \frac{2\pi}{n}\mathbb{Z} \cr & \;\Longleftrightarrow\; z\in \langle e^{\frac{2i\pi}{n}}\rangle.\end{align*}Ainsi $$U_n=\langle e^{\frac{2i\pi}{n}}\rangle.$$
- Si $\rho^k\in U_n,$ alors on a\begin{align*}\rho^k\in \langle \rho^a\rangle & \;\Longleftrightarrow\;\exists\,q\in\mathbb{Z},\; \rho^k=\rho^{qa}\cr & \;\Longleftrightarrow\;\exists\,q\in\mathbb{Z},\; \rho^{k-qa}=1\cr & \;\Longleftrightarrow\;\exists\,q\in\mathbb{Z},\; k-qa\in n\mathbb{Z}\cr & \;\Longleftrightarrow\; k\in a\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}=a\mathbb{Z}\;\text{puis}\;a\; \text{divise}\;n\end{align*}De même $\rho^k\in \langle \rho^b\rangle$ si et seulement si $k\in b\mathbb{Z}$. Ainsi $\rho^k\in\langle \rho^a\rangle\cap\langle \rho^b\rangle$ si et seulement si $k\in a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z}=m\mathbb{Z}$ . D’autre part, \begin{align*}\rho^k\in \langle \rho^a,\rho^b\rangle& \;\Longleftrightarrow\;\exists,(u,v)\in\mathbb{Z}^2,\;\rho^k=\rho^{au+bv}\cr & \;\Longleftrightarrow\;\exists,(u,v)\in\mathbb{Z}^2,\;\rho^{k-(au+bv)}=1\cr & \;\Longleftrightarrow\;\exists,(u,v)\in\mathbb{Z}^2,\;k-(au+bv)\in n\mathbb{Z}\cr & \;\Longleftrightarrow\; k\in a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}+n\mathbb{Z}=a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=d\mathbb{Z}.\end{align*}
- La reunion de $U_n$ n’est pas vide car il contient $1$. Soit $x,y\in \cup_n U_n$, donc il existent $\ell,m\in \mathbb{N}^\ast$ tels que $x^\ell=1$ et $y^m=1$. Alors $(xy^{-1})^{\ell m}=1$. Donc $xy^{-1}\in U_{\ell m}\subset \cup_n U_n$, et donc $U:=\cup_n U_n$ est un sous-groupe de $\mathbb{C}^\ast$. Supposons que $U$ est de type fini. Ils existent donc $n_1,n_2,\cdots,n_k\in\mathbb{N}^\ast$ et $(z_{1},z_{2},\cdots,z_{k})\in U_{n_1}\times U_{n_2}\times\cdots\times U_{n_k}$ tels que\begin{align*}U=\langle z_1,z_2,\cdots,z_k\rangle.\end{align*}Ainsi tout élément de $z$ de $U$ s’écrit$$z=z_1^{a_1}z_2^{a_2}\cdots z_k^{a_k}$$avec $a_1,a_2,\cdots,a_k$ dans $\mathbb{Z}$. Maintenant si on pose $N={\rm ppcm}(n_1,n_2,\cdots,n_k)$. On a alors $z^N=1,$ ce qui implique $z\in U_N$ est donc $U\subset U_N$. C’est une contarduction. Donc $U$ n’est pas de type fini.
