Exercices sur les intégrales de Riemann et applications

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On propose des exercices corrigés sur les intégrales de Riemann; en particulier sommes de Riemann, intégration par parties et changement de variables. En effet, ces sommes sont importantes pour calculer les limites de suites.

Intégrales de Riemann: Exercices pratiques et théoriques

N’oubliez pas que contrairement à ce que vous avez vu au lycée, on peut définir l’intégrale des fonctions qui ne sont pas forcément continues, seulement elles doivent être bornées. Formellement, une fonction bornée sur un intervalle borné $ [a, b] $ est intégrable au sens de Riemann si la différence de la somme Darboux supérieure et inférieure tend vers $ 0 $ lorsque le pas de la subdivision qui définit ces sommes tend vers $ 0 $. Les classes des fonctions continues ainsi que les fonctions monotones sont intégrables au sens de Riemann.

I. Pour s'entraîner :  Conseils pour un calcul efficace des intégrales 

Pour calculer une intégrale, il faut toujours se rappeler d’utiliser soit une intégration par parties, soit un changement de variables, soit les propriétés des fonctions usuelles. Voici quelques exemples.

\begin{align*}I&= \int^1_0 xe^{-x}ds=\int^1_0 x (-e^{-x})’dx=\left[-xe^{-x}\right]^{x=1}_{x=0}-\int^1_0 (x)'(-e^{-x})dx\\&=-e^{-1}+\int^1_0 e^{-x}dx=-e^{-1}+\left[-e^{-x}\right]^{x=1}_{x=0}=1-2e^{-1}.\end{align*} Ici, nous avons fait une intégration par partie. Dans ce cas, la fonction à l’intérieur de l’intégrale prend la forme $f g’$. Pour $f$ on choisit une fonction dont la dérivée est simple.\begin{align*} J=\int^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{4}}\cos(x)\ln(\sin{x})dx\end{align*} fonction $x\mapsto \sin(x)$ est continue et strictement positive sur l’intervalle $[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$. Donc la fonction $\mapsto \ln(\sin(x))$ est bien définie sur cet intervalle. De plus, on fait le changement de variable $u=\sin(x)$. Donc $du=\cos(x)dx$. En remplaçant dans l’intégrale on trouve \begin{align*}J&=\int^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}} \ln(u)du=\int^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}} (u)’\ln(u)du\cr &=\left[ u\ln(u)\right]^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}-\int^{1}_{\frac{\sqrt{2}}{2}}u \frac{1}{u}du=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}(1+\ln(\sqrt{2})).\end{align*} Soient $a,b\in\mathbb{R}^\ast$ tel que $a\neq b$ et $a+b\neq 0$. Calculer la primitive \begin{align*}K= \int \sin(ax)\sin(bx)dx.\end{align*} La méthodes la plus simple est d’utiliser les formules trigonométriques. En effet, on sait que\begin{align*}\sin(ax)\sin(bx)=\frac{1}{2}\left(\cos((a-b)x)-\cos((a+b)x)\right).\end{align*} Ainsi \begin{align*} K=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin((a-b)x)}{a-b}-\frac{\sin((a+b)x)}{a+b}\right)+C,\end{align*} avec $C$ une constante réelle.


Exercice:  Déterminer la primitive:\begin{align*}I=\int \frac{dx}{ \sqrt[3]{1+x^3}}.\end{align*}

Solution: Nous allons dans un premier temps réécrire $I$ comme une intégrale d’une fraction qui est facile à calculer. Pour cela nous allons faire deux changements de variable. Le premier changement de variable défini par $y=\frac{1}{x}$. Alors $dy= -\frac{dx}{x^2}= – y^2dx$, ce qui implique que $dx=-\frac{dy}{y^2}$. En remplace dans $I$ on trouve \begin{align*}I=-\int \frac{dy}{y^3\sqrt[3]{1+y^3}}.\end{align*} Maintenant le deuxième changement de variable défini par $t=\sqrt[3]{1+y^3}$. Ce qui donne $y^3=t^3-1$. Donc\begin{align*}I=-\int \frac{t}{t^3-1}dt.\end{align*}Il est important de décomposer cette fraction en éléments simple. En effet, on a\begin{align*}\frac{t}{t^3-1}=\frac{1}{3} \left( \frac{1}{t-1}-\frac{t-1}{t^2+t+1}\right).\end{align*}En intégre, on trouve\begin{align*}I=-\frac{1}{3}\ln|t-1|+\frac{1}{3}\int \frac{t-1}{t^2+t+1}\,dt.\end{align*}D’autre part,\begin{align*}\int \frac{t-1}{t^2+t+1} dt= \frac{1}{2}\int \frac{2t+1}{t^2+t+1}dt -\frac{3}{2}\int \frac{dt}{t^2+t+1}.\end{align*}Donc \begin{align*}I=-\frac{1}{3}\ln|t-1|+\frac{1}{6}\ln(t^2+t+1)-\frac{1}{2} \int \frac{dt}{t^2+t+1}.\end{align*}De plus \begin{align*}\int \frac{dt}{t^2+t+1}&=\int \frac{dt}{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\cr &= \frac{4}{3}\int \frac{dt}{\left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right)^2+1}.\end{align*} On trouve alors\begin{align*}I=-\frac{1}{3}\ln|t-1|+\frac{1}{6}\ln(t^2+t+1)-\frac{\sqrt{3}}{3} \arctan\left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right)+{\rm Cte}.\end{align*}En écrivant $t^3-1=y^3=\frac{1}{x^3}$ on trouve\begin{align*}t=\frac{\sqrt[3]{1+x^3}}{x}.\end{align*}Après tout calcul fait, on trouve\begin{align*}I=-\frac{1}{2}\ln(&\sqrt[3]{1+x^3}-x)-\cr & \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \frac{2\sqrt[3]{1+x^3}+x}{x}\right)+{\rm Cte}.\end{align*}


II.  Formule de la moyenne pour les intégrales de Riemann

Rappelons la formule de la moyenne. Soit $f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$ deux fonctions telles que $g\ge 0,$ $g$ intégrable sur $[a,b],$ et $f$ continue sur $[a,b]$. Alors il existe $c\in [a,b]$ tel que\begin{align*}\int^b_a f(t)g(t)dt=f(c)\int^b_a g(t)dt.\end{align*}

Exercice: Calculer les limites\begin{align*}\lim_{x\to 0^+}\int^{3x}_x \frac{dt}{te^t}.\end{align*}Preuve: Nous appliquons la formule moyenne. Pour $x>0,$ on choisit\begin{align*}g(t)=\frac{1}{t},\quad f(t)=e^{-t},\qquad t\in [x,3x].\end{align*} On a $g>0$ et intégrable sur $[x,3x]$ (car elle est continue), et $f$ est continue sur $[x,3x]$. Donc il existe $c_x\in [x,3x]$ (le $c$ depond de $x$ car si $x$ varie le $c$ varie aussi), tel que\begin{align*}\int^{3x}_x \frac{dt}{te^t}&= \int^{3x}_x f(t)g(t)dt\cr & = f(c)\int^{3x}_x f(t)g(t)dt\cr & = e^{-c_x}\log(3).\end{align*}Comme $x\le c_x\le 3x$, donc $c_x\to 0$ si $x\to 0$. Donc\begin{align*}\lim_{x\to 0^+}\int^{3x}_x \frac{dt}{te^t}=\log(3).\end{align*}


III. Sommes de Riemann et limite des suites définies par une somme


Rappelons c'est quoi une somme de Riemann. Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une fonction intégrable sur $[a,b]$ et soit $a=x_0<x_1<\cdots<x_n$ une subdivision de $[a,b]$ definie par $x_n=a+k\frac{b-a}{n}$ pour $k=1,2,\cdots,n$. Alors \begin{align*}\int^b_a f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n} f\left( a+k\frac{b-a}{n}\right).\end{align*}

Un cas particulier important: $a=0$ et $b=1$, donc on a 

\begin{align*}\int^1_0 f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n} f\left( \frac{k}{n}\right).\end{align*}

Application: Pour $\alpha>0,$  calculer la limite de la suite suivante:\begin{align*}u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{n\alpha+k}.\end{align*}Solution:  On écrit \begin{align*} u_n&=\frac{1}{n} \sum_{k=0}^n \frac{1}{\alpha+\frac{k}{n}}\cr & =\frac{1}{n} \sum_{k=0}^nf\left( \frac{k}{n}\right)\end{align*}avec $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ est la fonction continue \begin{align*}f(x)=\frac{1}{\alpha=x}.\end{align*}Ainsi \begin{align*} \lim_{n\to\infty}u_n=\int^1_0 f(x)dx=\log\left(\frac{\alpha+1}{\alpha}\right).\end{align*}


IV. Exercices théoriques sur les intégrales de Riemann


L’exercice suivant est un des classiques parmi les exercices sur les intégrales de Riemann.

Exercice: Soit $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ une fonction intégrable au sense de Riemann. Etudier la limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$, de\begin{align*}I_n=\int^1_0 \frac{f(x)}{1+nx}dx.\end{align*}

Solution: On passe à la valeur absolue pour majorée $I_n$ par une suite qui tend vers $0$ à l’infini. Pour cela il faut se rappeler que toute fonction intégrable au sens de Riemann est bornée. Soit alors $M>0$ tel que $|f(x)|\le M$ pour $x\in [0,1]$. On alors \begin{align*}|I_n|&=\left|\int^1_0 \frac{f(x)}{1+nx}dx\right|\cr & \le \int^1_0 \frac{|f(x)|}{1+nx}dx \cr & \le M \int^1_0 \frac{dx}{1+nx}\cr &= \frac{M}{n}\ln(1+n).\end{align*}Comme \begin{align*}\lim_{n\to +\infty} \frac{M}{n}\ln(1+n)=0,\end{align*}alors $I_n$ tend vers $0$ quand $n\to +\infty$.

Pour la notion des intégrales généralisées souvent en utilise les intégrales propre et aussi les critères de comparaisons. Pour d’autres exercices sur les integrales vous pouver voir le site bibmath.

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