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Loi de Cauchy

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La loi de Cauchy est bien connue pour le fait que sa moyenne et d’autres moments n’existent pas. Cette loi est aussi appelé loi de Lorentz et elle décrit également la distribution des distances horizontales auxquelles un segment de ligne incliné à un angle aléatoire coupe l’axe des x.

Généralités sur la loi de Cauchy

On considère un espace probabilisé $(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})$.

Définition (loi standard de Cauchy): Une variable aléatoire $X$ suit une loi de Cauchy standard si elle est absolument continue et admet pour densité : \begin{align*} f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2}.\end{align*}

D’une façon plus général la loi de Cauchy est définie avec deux autres paramètre positifs $\theta$ et $\mu$. Dans ce la la densité de cette loi est \begin{align*} f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{\theta}{\theta^2+(x-\mu)^2}.\end{align*} La fonction de répartition de $X$ est \begin{align*} F_X(x)= \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan\left( \frac{x-\mu}{\theta} \right),\end{align*} où $\theta$ est la demi-largeur à mi-hauteur et $\mu$ est la médiane statistique.

Vous pouvez utiliser la distribution de Cauchy pour représenter l’occurrence des pannes lors du développement de grands systèmes.

On rappelle aussi que la fonction caractéristique d’une variable aléatoire qui suit une loi de Cauchy-Lorentz de paramètres $\theta$ et $\mu$ est donnée \begin{align*} \varphi_X(t)=\frac{1}{\pi}\int^{+\infty}_{-\infty} e^{ixt} \frac{\theta}{\theta^2+(x-\mu)^2} dx=e^{i\mu t-\theta |t|}.\end{align*} D’autre part, les moment $\mathbb{E}(X^n)$ ne sont pas définis vu que l’intégrale \begin{align*} \mathbb{E}(X^n)=\frac{1}{\pi}\int^{+\infty}_{-\infty} \frac{\theta x^n}{\theta^2+(x-\mu)^2} dx\end{align*} est divergente pour tout $n\ge 1$.

Une autre remarque importante est que si l’on se donne deux variables aléatoires $X$ et $Y$ qui suivent des distributions normales, alors la variable aleatoire $Z=\frac{X}{Y}$ suit une loi de Cauchy de paramètres $\theta=\frac{\sigma_x}{\sigma_y}$ et $\mu=0$.

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