Les groupes quotients sont une notion fondamentale en algèbre, jouant un rôle clé dans la théorie des groupes. Ils permettent de comprendre comment un groupe peut être « simplifié » ou « réduit » en modulant les éléments d’un sous-groupe. Dans cet article, nous explorons la définition des groupes quotients, leurs propriétés, et des exemples concrets pour illustrer leur utilité.
Groupes Quotients: Définition
Sous-groupe normal
Un sous-groupe $H$ d’un groupe $G$ est dit normal ou distingué s’il satisfait à la condition suivante : forall $g \in G,\; gHg^{-1} = H$. En d’autres termes, si vous conjuguez les éléments de $H$ par n’importe quel élément de $G$, vous obtiendrez toujours un élément de $H$. On note cela $H\triangleleft G$.
Proposition: Soient $G$ et $G’$ deux groupes d’éléments neutres $e$ et $e’$, respectivement. Si $f:G\to G’$ est un morphisme de groupe alors $\ker(f)\triangleleft G$
Soient $g\in G$ et $h\in \ker(f)$. En particulier, on a $f(h)=e’$ et $f(g)f(g^{-1})=f(gg^{-1})=e’.$ D’autre part, $$ f(ghg^{-1})=f(g)f(h)f(g^{-1})=f(g)f(g^{-1})=e’.$$ Donc $ghg^{-1}\in\ker(f)$.
Structure de groupe quotient
Soit $(G,\cdot)$ un groupe et $H$ un sous groupe de $G$. Pour $x,y\in G$ nous définissons la relation binaire suivante $$ x\mathscr{R}y \Longleftrightarrow x^{-1}\cdot y\in H.$$Il est bien évident que $\mathscr{R}$ est une relation d’équivalence sur $G$. L’ensemble des quotients associé à cette relation $G/\mathscr{R}$ sera noté $G/H$. Nous avons alors $$ G/H=\{gH: g\in G\}.$$ Nous avons $gH$ qui est appelé la classe classe à gauche de l’élément $g$ de $G$. De même, $Hg$ est appelé la classe à droite de $g$.
Il est facile de montrer que pour tout $g\in G$, l’application $f:H\to gH$ telle que $f(h)=gh$ est bijective. Ceci implique que les enemble $H$ et $gH$ ont même cardinal ($|H|=|gH|$).
Théorème de Lagrange: Soit $G$ un groupe fini. Si $H$ est un sous groupe de $G$, alors le cardinal de $H$ divise celui de $G$. On notera $|G/H|$ où $[G:H]$ le nombre $|G|/|H|$. De plus, $[G:H]$ s’appelle l’indice de $H$ dans G
On peut voir $G$ comme une partition construite à travers les classes d’équivalence selon la relation $\mathscr{R}$. Donc on a $$ G=\cup_{g\in G}gH.$$ Comme par hypothèse le groupe $G$ est fini, alors il existe un entier naturel $n$ tel que $G=\{g_1,\cdots,g_n\}$. Ainsi $$ G=\{g_1H,\cdots,g_nH\}.$$ Mais on a deja vue que $|H|=|g_iH|$ pour tout $i\in\{1,2,\cdots,n\}$. Donc $|G|=n |H|$.
Proposition: Soit $G$ un groupe et $H$ un sous groupe de groupe $G$. Les classes à gauche et à droite de la relation d’équivalence héritée de $H$ coïncident si et seulement si $H$ est normal dans $G$.
« \Longrightarrow » Nous supposons que pour tout $g\in G$ $gH=Hg$. Donc pour tout $h\in H$, nous avons $gh\in Hg$. Il existe donc $k\in H$ tel que $gh=kg$. En multipliant par $g^{-1}$, on obtient $ghg^{-1}=k\in H$. Ce qui montre que $H$ est normal en $G$.
« \Longleftarrow » On suppose que $H\triangleleft G$. Donc pour tout $g\in G$, et tout $h\in H$, on a $ghg^{-1}\in H$. Ainsi $gh\in Hg$. Par suite $gH\subset Hg$. Mais notre discussion en haut, $|H|=|gH|=|Hg|$. Ainsi $gH= Hg$
On définit une opération sur G/H par $$ (gH)(kH) = (gk)H,\quad g,k\in G.$$ Muni de cette opération $G/H$ est un groupe si et seulement si le sous groupe $H$ est distingué. Il est est appelé un groupe quotient.
Exemple de Groupe Quotient
Prenons $G = \mathbb{Z}$, le groupe des entiers avec l’addition, et $H=3\mathbb{Z}$, le sous-groupe des multiples de $3$.
Étapes :
- Définition des Classes :
Les classes de congruence modulo $H$ sont :$$0 + 3\mathbb{Z}, \quad 1 + 3\mathbb{Z}, \quad 2 + 3\mathbb{Z}.$$Chaque classe regroupe les entiers ayant le même reste modulo 3. - Ensemble Quotient :
Le groupe quotient $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ contient exactement 3 éléments :$$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = \{0, 1, 2\}.$$ - Opération :
L’addition est définie modulo 3. Par exemple :$$(1 + 3\mathbb{Z}) + (2 + 3\mathbb{Z}) = (3 + 3\mathbb{Z}) = 0 + 3\mathbb{Z}.$$
Exercices corrigés sur les groupes quotients
Exercice: Soient $G$ un groupe et $H,K$ deux sous groupes de $G$ tels que $H\triangleleft G$ et $K\triangleleft G$. Montrer que sous groupe engendré par $H\cup K$ est normal.
Soit $g\in G$ et $x\in \langle H\cup K\rangle$. D’apres la definition d’un groupe engendré par une partie, on a $$ x=h_1^{\tau_1}\cdots h_n^{\tau_n}k_1^{\mu_1}\cdots k_m^{\mu_m},$$ avec $h_i\in H$, $\tau_i=\pm 1$, $k_j\in K$, $\mu_j=\pm1$ pout $i=1,\cdots,n$ et $j=1,\cdots,m$. Comme les sous groupes $H$ et $K$ sont normaux dans $G$, alors pour tout $i,j$ ona $ g^{-1}h_i^{\tau_i}g\in H$ et $g^{-1}k_j^{\mu_j}g\in K$. Ainsi $$ g^{-1}xg=(g^{-1}h_1^{\tau_1}g)\cdots (g^{-1}h_n^{\tau_n}g)(g^{-1}k_1^{\mu_1}g)\cdots (g^{-1}k_m^{\mu_m}g)\in \langle H\cup K\rangle.$$
Applications des Groupes Quotients
- Cryptographie
Les groupes quotients sont utilisés pour simplifier les structures algébriques dans des algorithmes cryptographiques. - Topologie Algébrique
En topologie, les groupes quotients apparaissent naturellement dans les constructions de groupes fondamentaux et de cohomologie. - Symétries
Les groupes quotients sont utilisés pour étudier les symétries dans la physique et les mathématiques.
Conclusion
Les groupes quotients permettent d’analyser les groupes en les décomposant en parties plus simples. Ils sont essentiels dans de nombreuses branches des mathématiques, notamment l’algèbre, la topologie et la géométrie. Une compréhension solide de ce concept ouvre la porte à des applications avancées et des découvertes fascinantes dans diverses disciplines.