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Loi uniforme continue

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La loi uniforme continue est l’une des lois de probabilité les plus simples en statistique. Elle est continu dans le sens où il prend des valeurs dans un segment spécifié, par exemple entre zéro et un.

Généralités sur la loi uniforme continue

Dans toute les suite les variable aléatoires sont définies sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})$.

Définition: Une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme continue sur $[a,b]$ avec $a<b$ (on écrit $X\sim\mathscr{U}([a,b])$) si $X$ admet une densité $f$ définie par $f=\frac{1}{b-a}1_{[a,b]}$.

D’apres le chapitre sur le variables aléatoires à densité on a \begin{align*} \mathbb{P}(c\le X\le b)=\int^{b\wedge d}_{a\vee c} f(x)dx=\frac{(b\wedge d)-(a\vee c)}{b-a}.\end{align*}

L’Esperance

Pour une variable aléatoire $X\sim\mathscr{U}([a,b]),$ l’espérance de $X$ est donné par \begin{align*}\mathbb{E}(X)=\int^b_a \frac{x}{b-a}dx=\frac{a+b}{2}.\end{align*} D’une manière plus générale un moment d’ordre $n$ de $X$ est \begin{align*} \mathbb{E}(X^n)&=\int^b_a \frac{x^n}{b-a}dx\cr &= \frac{b^n+b^{n-1}a+\cdots+b a^{n-1}+a^n}{n+1}.\end{align*}

La variance

Si $X\sim \mathscr{U}([a,b]),$ alors la variance de $X$ est \begin{align*}V(X)&=E(X^2)-E(X)\cr&= \frac{(b-a)^2}{12}.\end{align*}

Fonction de répartition pour la loi uniforme continue

La fonction de répartition d’une variable aléatoire $X$ qui suit une loi unforme continue sur $[a,b]$ est calculer comme suit \begin{align*} F_X(x)&=\int^x_{-\infty} f(u)du=\int^x_{-\infty} \frac{1}{b-a}1_{[a,b]}(u)du\cr &=\begin{cases} 0,& x\le a,\cr \frac{x-a}{b-a},& x\in [a,b],\cr 1,& x\ge b.\end{cases}\end{align*}

Exercices d’application

Exercice: Soit $(X_n)_n$ une famille de variables aléatoires indépendantes telle que $X_n\sim \mathscr{U}([0,1])$ pour tout $n$. On pose $Y_n=\max\{X_1,\cdots,X_n\}$ et $Z_n=n(1-Y_n)$. Montrer que $Z_n$ converge en loi vers la loi exponentielle de paramètre $1$.

Solution: Pour répondre à la question, vous devez d’abord calculer la fonction de répartition de chaque $Z_n$. En effet, on sait que $Z_n$ converge en loi si $F_{Z_n}$ est convergente. Notez que $Y_n(\Omega)\subset [0,1]$. Soit $y\in\mathbb{R}$. On a donc $\mathbb{P}(Y_n\le y)=0$ si $y\le 0$ et $\mathbb{P}(Y_n\le y)=1$ si $y\ge 1$. D’autre part, si $y\in ]0,1[$, on a \begin{align*} Y_n\le y \Longleftrightarrow X_i\le y,\quad \forall i\in\{1,\cdots,n\}.\end{align*} Comme les variable $X_i$ sont indépendantes et que $\mathbb{P}(X_i\le y)=y^n$ pour tout $i,$ alors on a \begin{align*} \mathbb{P}(Y_n\le y)=\prod_{i=1}^n \mathbb{P}(X_i\le y)=y^n.\end{align*} Maintenanant calculons $F_{Z_n}$, la fonction de répartition de chaque $Z_n$. Soit $x\in \mathbb{R},$ il est facile de voir que $Z_n\le x$ si et seulement si $Y_n\ge 1-\frac{x}{n}$. Donc $\mathbb{P}(Z_n\le x)=1-\mathbb{P}\left( Y_n\le 1-\frac{x}{n}\right)$. D’autre part, puisque $1-\frac{x}{n}\in ]0,1[$ si et seulement si $x\in [0,n],$ alors d’après le calcul en haut, on a \begin{align*} F_{Z_n}(x)=\begin{cases}0,& x\le 0,\cr 1-\left(1-\frac{x}{n} \right)^n,& x\in [0,n],\cr 1,& x\ge n.\end{cases}\end{align*} Pour $x\le 0$ on a $F_{Z_n}(x)=0\to 0$ quand $n\to\infty$. Maintenant si $x\ge 0,$ alors dès que $n$ est assez grand on a nécessairement $0\le x\le n$, et donc $F_{Z_n}(x)=1-\left(1-\frac{x}{n} \right)^n\to 1-e^{-x}$ quand $n\to\infty$. Ainsi pour tout $x\in \mathbb{R}$ fixer, $F_{Z_n}(x)\to F(x)$ avec $F=1_{\mathbb{R}^+}(\cdot)\;(1-e^{-\cdot})$. Comme $F$ est la fonction de répartition d’une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle, alors nous avons répondu à la question.

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