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Limites de fonctions pour bac S

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On propose résume de cours et exercices corriges sur les limites de fonctions pour bac S, baccalauréat Scientifique. Savoir calculer une limite d’une fonction est crucial dans l’étude de sa courbe ou sa trajectoire.

Notion de limites de fonctions pour bac S 

Soit $f:D\to \mathbb{R}$ une fonction avec $D\subset \mathbb{R}$ est le domaine de définition de $f$. Si un élément $a\in D,$ alors on a pas besoin de calculer la limite car $f$ est bien définit en $a$, il suffit de prendre l’image $f(a)$. Par exemple si $f(x)=\frac{1}{x^2}$ alors $D=\mathbb{R}^\ast$. Si on prend $a=1$, alors $a\in D$ et on a $f(a)=1$. Mais si on prend $a=0$, on a $0\not\in D$. Dans ce cas on peut pas calculer directement l’image de $0$. ce qu’on peut faire dans ce cas et juste savoir qui se que se passe au point qui sont très proche de $0$. C’est a dire savoir le comportement de la fonction autour du point $0$. De la même façon $\pm\infty\notin D$, donc il faut juste comprendre ce qui se passe juste au voisinage de $\pm\infty\notin D$. C’est la notion de limite. Dans le paragraphe suivant on vous donne une définition précise.

Définition de la limite en un point

On suppose qu’on a une fonction $f:D\to \mathbb{R}$ avec $D$ c’est de domaine de définition de $f$.

  1. Limite finie en un point fini Soit $a$ un nombre réel tel que $a\notin D$ et $\ell in\mathbb{R}$ (donc $ell\neq \pm\infty$). On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ et on écrit $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle très petit $J$ centré en $\ell$ (c-a-d $J=]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon[$ pour tout $\varepsilon>0$ très petit), il existe un autre intervalle très petit $I$ centre en $a$ (c-a-d il existe $\alpha>0$ très petit tel que $I=]a-\alpha,a+\alpha[$) tel que $f(x)\in J$ pour tout $x\in I\cap D$.
  2. limite infini en un point fini– On suppose que $D=[b,+\infty[$ avec $b\in\mathbb{R}$, $f:D\to \mathbb{R}$ et $a\notin \mathbb{R}$. On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ est en écrit $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ si pour tout $A>0$ (assez grand,) il existe un intervalle très petit centré en $a$ (c-a-d il existe $\alpha>0$ très petit tel que $I=]a-\alpha,a+\alpha[$) tel que $f(x)>A$ pour tout $x\in I$.
    – On suppose que $D=]-\infty,b]$ avec $b\in\mathbb{R}$, $f:D\to \mathbb{R}$ et $a\notin \mathbb{R}$. On dit que $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ est en écrit $\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$ si pour tout $A>0$ (assez grand,) in existe un intervalle très petit centré en $a$ (c-a-d il existe $\alpha>0$ très petit tel que $I=]a-\alpha,a+\alpha[$) tel que $f(x)<-A$ pour tout $x\in I$.

Exercice: En utilisant la définition, montrer que \begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0} \frac{-1}{x^4}=-\infty.\end{align*}

Solution: Déjà le domaine de définition de la fonction $f(x)=\frac{1}{x^2}$ est $D=\mathbb{R}^*$. Soit maintenant $A>0$ assez grand et $x\in D$. Pour que $f(x)< A$ il suffit que $x^2<\frac{1}{A}$ il suffit que $|x|<\frac{1}{\sqrt{A}}$. D’autre part, si on prend $\alpha:=\frac{1}{\sqrt{A}}$, alors pour tout $x\in I:=]-\alpha,\alpha[$ (intervalle centré en $a=0$), on a $|x|<\alpha$. Ce qui donne $x^2<\frac{1}{A}$, ce qui implique aussi $\frac{1}{x^2}>A$. Donc d’après la définition on a le résultat demander.

Définition de la limite a l’infini

Dans cette partie on cherche le comportement d’une fonction $f$ en $\pm\infty$.

Limite en $+\infty$: Ici on suppose que $f:[0,+\infty[\to \mathbb{R}$ et $\ell\in \mathbb{R}$. On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend $+\infty$ et on écrit $\lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle très petit $J$ centré en $\ell$ (c-a-d $J=]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon[$ pour tout $\varepsilon>0$ très petit), il existe un réel assez grand $A>0$ tel que $f(x)\in J$ dés que $x>A$.

Limite en $-\infty$: Ici on suppose que $f:]-\infty,b]\to \mathbb{R}$ et $\ell\in \mathbb{R}$. On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend $+\infty$ et on écrit $\lim_{x\to -\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle très petit $J$ centré en $\ell$ (c-a-d $J=]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon[$ pour tout $\varepsilon>0$ très petit), il existe un réel assez grand $A>0$ tel que $f(x)\in J$ dés que $x<-A$.

Exercice: Montrer que \begin{align*} \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0.\end{align*} la fonction $f(x)=\frac{1}{x}$ est bien définie sur $D=\mathbb{R}^\ast$. Soit $\varepsilon >0$ très petit. Comme on souhaite tendre $x$ vers $+\infty$, donc on peut supposer que $x>0$. Ainsi pour que $|f(x)|<\varepsilon$ il faut que $\frac{1}{x}=|\frac{1}{x}|<\varepsilon$. C’est a dire que $x>\frac{1}{\varepsilon}$. On choisi alors $A=\frac{1}{\varepsilon}$. Donc pour tout $x>A$ on a $|f(x)|<\varepsilon$. Ce qui implique que $f(x)$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

Limite égale a $\pm\infty$ en $+\infty$: Soit $f:[b,+\infty[$ une fonction. On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x\to+\infty$ et on écrit $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ si pour tout $A>0$ assez grand, il existe $B>0$ assez grand tel que $x>B$ implique $f(x)>A$ (cela signifie que pour toute valeur assez grande $x$, son image $f(x)$ reste aussi assez grande).

Par définition, $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x\to+\infty$ et on écrit $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$ si pour tout $A>0$ assez grand, il existe $B>0$ assez grand tel que $x>B$ implique $f(x)<-A$ (cela signifie que pour toute valeur assez grande $x$, son image $f(x)$ reste aussi assez grande).

Exercice: Soit $n\in \mathbb{N}^\ast$ et on pose $f(x)=x^n$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. Calculer les limite \begin{align*}\lim_{x\to +\infty}x^n,\qquad \lim_{x\to -\infty}x^n.\end{align*} – En $+\infty$. Soit $A>0$ et $x>0$ tels que $x^n>A.$ Donc $x> A^{\frac{1}{n}}$. On prend $B=A^{\frac{1}{n}}$. Ainsi si $x>B$ alors $x^n>A.$ Ceci implique que \begin{align*}\lim_{x\to +\infty}x^n=+\infty.\end{align*} – En $-\infty$. On a deux cas:

$\bullet$ Si $n$ est pair, alors d’après le calcul en faut on a \begin{align*}\lim_{x\to -\infty}x^n= \lim_{-x\to +\infty} (-x)^n=+\infty.\end{align*}$\bullet$ Maintenant le cas $n$ impair, par exemple $n=2m+1$: Soit $A>0$ et $x<0$ tels que $x^n<-B$, donc on a $(-x) x^{2m}>A,$ ce qui implique aussi $(-x)^n>A$ (car $x^{2m}=(-x)^{2m}$). Donc $-x>A^{\frac{1}{n}}$. On prend alors $B=A^{\frac{1}{n}}$. Ainsi si $x< -B,$ on a $x^n<-A$. Par suite \begin{align*}\lim_{x\to -\infty}x^n=-\infty.\end{align*} Comme conclusion on peut écrire \begin{align*}\lim_{x\to -\infty}x^n=\begin{cases}+\infty,& n \;\text{pair},\cr -\infty,& n\;\text{impair}.\end{cases}\end{align*}

Exercices corrigés sur les limites de fonctions

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