Interprétation géométrique du théorème des accroissements finis: Géométriquement, le théorème dit que quelque part entre les points A et B sur une courbe différentiable, il y a au moins une ligne tangente parallèle à la ligne sécante AB. Des application de ce theoreme sont regrouper dans la parties exercices sur les fonctions dérivables.
Théorème des accroissements finis pour les fonctions à valeurs réelles
Théorème: Soit $a,b\in\mathbb{R}$ tels que $a<b$ et $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une fonction continue sur l’intervalle fermé $[a,b]$ et dérivable sur l’intervalle ouvert $]a,b[$. Alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que \begin{align*} f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\end{align*}
Exercice: Montrer que pour tout $t,s\in\mathbb{R}^+,$ on a \begin{align*} |\sin(\sqrt{t})-\sin(\sqrt{s})|\le |t-s|^{\frac{1}{2}}.\end{align*}
Solution: Soit $x,y\in\mathbb{R}^+$ (on peut supposer $x<y$). L’application $\sigma\in [x,y]\to \mathbb{R}$ est continue et dérivable sur $[x,y]$. Donc selon le theoreme des accroissements finis, il existe $c\in ]x,y[$ tel que $\sin(y)-\sin(x)=\cos(c)(y-x)$. Cela implique que $|\sin(y)-\sin(x)|\le |y-x|$ pour tout $x,y\in\mathbb{R}^+$. En particulier pour $y=\sqrt{t}$ et $x=\sqrt{s}$ pour $t,s\in \mathbb{R}^+$, on a \begin{align*}|\sin(\sqrt{t})-\sin(\sqrt{s})|\le |\sqrt{t}-\sqrt{s}|\le |t-s|^{\frac{1}{2}}.\end{align*}Consulter aussi les fonctions höldériennes.
Le théorème suivant, dit théorème de Rolle, est un cas particulier du théorème des accroissement finis.
Théorème (Rolle): Soit $a,b\in\mathbb{R}$ tels que $a<b$ et $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une fonction continue sur l’intervalle fermé $[a,b]$ et dérivable sur l’intervalle ouvert $]a,b[$ tel que $f(a)=f(b)$. Alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
Exercice: Soit $P$ un polynôme à $n$ racines réelles distinctes deux à deux. Montrer que le polynôme dérivé $P’$ a exactement $n-1$ racines distinctes.
Solution: On note par $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ les $n$ racines réelles de $P$ tel que $\lambda_i\neq \lambda_j$ pour tout $i,j\in\{1,2,\cdots,n\}$. Sans perdre de généralités, on peut supposer que $\lambda_1<\lambda_2<\cdots<\lambda_n$. pour tout $i\in \{1,2,\cdots,n-1\}$, $x\mapsto P(x)$ est continue est dérivable sur $[\lambda_i,\lambda_{i+1}]$ et que $P(\lambda_i)=P(\lambda_{i+1})=0$. Selon le théorème de Rolle, il existe $c_i\in ]\lambda_i,\lambda_{i+1}[$ tel que $P'(c_i)=0$. Ainsi on a $n-1$ racines réelles distincts pour le polynôme $P’$.
Inégalité des accroissements finis
Théorème: Soit $m,n\in\mathbb{N}^\ast$, $\mathscr{U}$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $f:\mathscr{U}\to \mathbb{R}^m$ une fonction différentiable sur $\mathscr{U}$. Soint $x,y\in \mathscr{U}$ tel que le segment $[x,y]:=\{tx+(1-t)y: t\in [0,1]\}\in \mathscr{U}$. Si la différentielle $Df:\mathscr{U}\to\mathscr{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ est bornee sur le segment $[x,y]$, alors \begin{align*} \|f(x)-f(y)\|\le M \|x-y\|\end{align*} avec $M=\sup_{h\in [x,y]}\|Df(h)\|$.
