/

théorème des accroissements finis

4 mins read
theoreme-des-accroissements-finis

Interprétation géométrique du théorème des accroissements finis: Géométriquement, le théorème dit que quelque part entre les points A et B sur une courbe différentiable, il y a au moins une ligne tangente parallèle à la ligne sécante AB. Des application de ce theoreme sont regrouper dans la parties exercices sur les fonctions dérivables.

Théorème des accroissements finis pour les fonctions à valeurs réelles

Théorème: Soit $a,b\in\mathbb{R}$ tels que $a<b$ et $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une fonction continue sur l’intervalle fermé $[a,b]$ et dérivable sur l’intervalle ouvert $]a,b[$. Alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que \begin{align*} f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\end{align*}

interpretations-geometriques-theoreme-accroissements-finis

Exercice: Montrer que pour tout $t,s\in\mathbb{R}^+,$ on a \begin{align*} |\sin(\sqrt{t})-\sin(\sqrt{s})|\le |t-s|^{\frac{1}{2}}.\end{align*}

Solution: Soit $x,y\in\mathbb{R}^+$ (on peut supposer $x<y$). L’application $\sigma\in [x,y]\to \mathbb{R}$ est continue et dérivable sur $[x,y]$. Donc selon le theoreme des accroissements finis, il existe $c\in ]x,y[$ tel que $\sin(y)-\sin(x)=\cos(c)(y-x)$. Cela implique que $|\sin(y)-\sin(x)|\le |y-x|$ pour tout $x,y\in\mathbb{R}^+$. En particulier pour $y=\sqrt{t}$ et $x=\sqrt{s}$ pour $t,s\in \mathbb{R}^+$, on a \begin{align*}|\sin(\sqrt{t})-\sin(\sqrt{s})|\le |\sqrt{t}-\sqrt{s}|\le |t-s|^{\frac{1}{2}}.\end{align*}Consulter aussi les fonctions höldériennes.

Le théorème suivant, dit théorème de Rolle, est un cas particulier du théorème des accroissement finis.

Théorème (Rolle): Soit $a,b\in\mathbb{R}$ tels que $a<b$ et $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une fonction continue sur l’intervalle fermé $[a,b]$ et dérivable sur l’intervalle ouvert $]a,b[$ tel que $f(a)=f(b)$. Alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.

Exercice: Soit $P$ un polynôme à $n$ racines réelles distinctes deux à deux. Montrer que le polynôme dérivé $P’$ a exactement $n-1$ racines distinctes.

Solution: On note par $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ les $n$ racines réelles de $P$ tel que $\lambda_i\neq \lambda_j$ pour tout $i,j\in\{1,2,\cdots,n\}$. Sans perdre de généralités, on peut supposer que $\lambda_1<\lambda_2<\cdots<\lambda_n$. pour tout $i\in \{1,2,\cdots,n-1\}$, $x\mapsto P(x)$ est continue est dérivable sur $[\lambda_i,\lambda_{i+1}]$ et que $P(\lambda_i)=P(\lambda_{i+1})=0$. Selon le théorème de Rolle, il existe $c_i\in ]\lambda_i,\lambda_{i+1}[$ tel que $P'(c_i)=0$. Ainsi on a $n-1$ racines réelles distincts pour le polynôme $P’$.

Inégalité des accroissements finis

Théorème: Soit $m,n\in\mathbb{N}^\ast$, $\mathscr{U}$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $f:\mathscr{U}\to \mathbb{R}^m$ une fonction différentiable sur $\mathscr{U}$. Soint $x,y\in \mathscr{U}$ tel que le segment $[x,y]:=\{tx+(1-t)y: t\in [0,1]\}\in \mathscr{U}$. Si la différentielle $Df:\mathscr{U}\to\mathscr{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ est bornee sur le segment $[x,y]$, alors \begin{align*} \|f(x)-f(y)\|\le M \|x-y\|\end{align*} avec $M=\sup_{h\in [x,y]}\|Df(h)\|$.

Laisser un commentaire

Your email address will not be published.

Latest from Blog

Loi Gamma

L’une des lois les plus pratiques est la loi gamma. Il est utilisé pour surveiller la