Exercices sur les relations d’équivalence

Il est bien claire que la relation $\mathcal{R}$ est réflexive et symétrique. Cependant $\mathcal{R}$ n’est pas transitive sur $\mathbb{R}$. En effet, on prend $x=\frac{1}{4}$ , $y=\frac{1}{2}$ et $z=1$. On a $|\frac{1}{4}-\frac{1}{2}|=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$ donc $\frac{1}{4}\mathcal{R}\frac{1}{2}$. De plus $|\frac{1}{2}-1|=\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}$ donc $\frac{1}{2}\mathcal{R}1$. Mais $|\frac{1}{4}-1|=\frac{3}{4}>\frac{1}{2}$. Donc $\frac{1}{4}$ n’est pas en relation avec $1$. Donc cette relation n’est pas transitive. Ainsi elle n’est pas une relation d’équivalence.

Soient trois suites $(x_n), (y_n)$ et $(z_n)$ dans $\mathcal{S}$. Comme la suite nulle tend vers $0$ a l’infini, alors toutes suites est en relation avec elle même, c’est a dire $(x_n)\mathcal{R}(x_n)$, d’ou $\mathcal{R}$ est réflexive. D’autre part, comme $x_n-y_n=-(y_n-x_n)$, alors $\mathcal{R}$ est aussi symétrique. Finalement, si $(x_n)\mathcal{R}(y_n)$ et $(y_n)\mathcal{R}(z_n)$, alors $x_n-y_n\to 0$ et $y_n-z_n\to 0$ quand $n\to+\infty$. Mais on peut aussi écrire \begin{align*} x_n-z_n= (x_n-y_n)+(y_n-z_n). \end{align*}Ceci montre que $x_n-z_n\to 0$ quand $n\to+\infty$ et donc $\mathcal{R}$ est transitive. Ainsi $\mathcal{R}$ est une relations d’équivalence sur $\mathcal{S}$. Remarquons que la classe de la suite nulle $(0)_n$ sont les suites qui tendent vers zéro. Par exemple $\left(\frac{1}{n}\right)_n\in {\rm cl}((0)_n)$.

Comme $p-p=0$ divise $2$ alors la relation $\mathcal{R}$ est réflexive. D’autre part, si $p\mathcal{R} q$ alors il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $p-q=2k,$ et donc $q-p=2(-k)$. Ceci implique que $q\mathcal{R} p$. D’où la symétrie. Soit maintenant $p,q$ et $r$ des nombres relatifs tels que $p\mathcal{R} q$ et $q\mathcal{R} r$. Ce qui signifie que $p-q$ divise $2$ et $q-r$ divise $2$. Donc la somme $(p-q)+(q-r)=p-r$ divise $2$. Donc la relation est aussi transitive. Ce qui donne une relation d’équivalence. Clairement, la classe d’équivalence de $0$ est l’ensemble de nombres relatifs pair: $\overline{0}=2\mathbb{Z}$. De plus, la classe d’équivalence de $1$ est l’ensemble de nombres relatifs impair: $\overline{1}=2\mathbb{Z}+1$. Ceci implique que \begin{align*}\mathbb{Z}/\mathcal{R}=\left\{ \overline{0},\overline{1}\right\}.\end{align*} Cette ensemble se note aussi par \begin{align*}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.\end{align*}

Comme pour tout $x\in \mathbb{R}$ on a $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1,$ alors $x\mathcal{R}x,$ c’est la réflexivité de la relation. Soit $x,y\in \mathbb{R}$ tels que $x\mathcal{R}y$, c-a-d $\cos^2(x)+\sin^2(y)=1$. Donc $(1-\sin^2(x))+(1-\cos^2(y))=1$. Ce qui donne $\cos^2(y)+\sin^2(x)=1$, et donc $y\mathcal{R}x$. La relation est donc symétrique. Enfin soit $x,y,z\in \mathbb{R}$ tels que $x\mathcal{R}y$ et $y\mathcal{R}z$. On a alors $\cos^2(x)+\sin^2(y)=1$ et $\cos^2(y)+\sin^2(z)=1$. En fait la somme des deux cotes des ces équations, on trouve $\cos^2(x)+(\sin^2(y)+\cos^2(y))+\sin^2(y)=2$, ce qui implique $\cos^2(x)+\sin^2(z)=1$. C’est la transitivité de la relations. Conclusion $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{R}$.

Pour tout $z\in \mathbb{C}$ on a $|z|=|z|$, donc $z\mathcal{R}z,$ d’ou la réflexivité de la relation. D’autre part, soient $z,z’\in\mathbb{C}$ tels que $z\mathcal{R}z’,$ c-a-d $|z|=|z’|$. Alors on a aussi $|z’|=|z|$, ce qui signifie que $z’\mathcal{R}z,$ c’est la symétrie de $\mathcal{R}$. Pour la transitivité, soient $z,z’,\ddot{z}\in \mathbb{C}$ tels que $z\mathcal{R}z’$ et $z’\mathcal{R}\ddot{z}$. Donc $|z|=|z’|$ et $|z’|=|\ddot{z}|$. Par suite $|z|=|\ddot{z}|$, ainsi $z\mathcal{R}\ddot{z}$. Conclusion, $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{C}$. La classe d’équivalence d’un nombre complexe $z$ par cette relation est donnée par \begin{align*} {\rm cl}(z)=\{z’\in\mathbb{C}: |z|=|z’|\}=C(0,|z|),\end{align*} avec $C(0,|z|)$ est le cercle de centre $0$ et de rayon $|z|$. Donc l’ensemble quotient de $\mathbb{C}$ par cette relation est \begin{align*} \mathbb{C}/\mathcal{R}=\{{\rm cl}(z):z\in\mathbb{C}\}=\bigcup_{z\in\mathbb{C}} C(0,|z|).\end{align*}

$\bullet$ Pour tout $x\in \mathbb{R}$ on a $xe^x=xe^x$, donc $xRx$. ce qui implique que la relation $R$ est réflexive. Maintenant, soit $x,y\in \mathbb{R}$ tel que $xRy$. On a alors $xe^y=ye^x$, ou bien encore $ye^x=xe^y,$ et donc $yRx$. Ainsi $R$ est symétrique. Enfin, soit $x,y,z\in \mathbb{R}$ tel que $xRy$ et $yRz$. En particulier, $xe^y=ye^x$ et $ye^z=ze^y$. Ce qui donne $$\frac{x}{e^x}=\frac{y}{e^y}=\frac{z}{e^z}.$$ Par suite $xe^z=ze^x$, ce qui traduit $xRz$. C’est la transitivité de la relation $R$. Conclusion, $R$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{R}$.

$\bullet$ On note par $\overline{x}$ la classe d’équivalence de $x$ modulo $R$. Maintenant, si on pose $\psi(s)=\frac{s}{e^s}$, alors \begin{align*} \overline{x}&=\{y\in \mathbb{R}: yRx\}\cr &= \{y\in \mathbb{R}: ye^x=xe^y\} \cr & =\{y\in \mathbb{R}: \frac{y}{e^y}=\frac{x}{e^x}\}\cr &= \{y\in \mathbb{R}: \psi(y)=\psi(x)\}.\end{align*} Ainsi $$ \overline{x}=\psi^{-1}\{\psi(x)\}.$$

1. Il est simple de voir que la relation $\mathscr{R}$ est réfexive, symétrique et transitive. Donc c’est une relation d’équivalence sur $\mathcal{P}(E)$.
2. Soit $X\in \mathcal{P}(E)$ et trouvons la classe de $X$, ${\rm Cl}(X)$, par rapport à $\mathscr{R}$. Soit $Y\in {\rm Cl}(X)$. Donc $A\cup Y=X\cup A$. Soit $y\in (Y\setminus A)\subset A\cup Y= X\cup A$. Donc $y\in X$ et $y\notin A$. Cela implique $(Y\setminus A)\subset (X\setminus A)$, Par symétrie nous avons aussi $(X\setminus A)\subset (Y\setminus A)$. Donc $Y\setminus A= X\setminus A$. Maintenant, remarquons que $Y=(X\setminus A)\cup (Y\cap A)=(Y\setminus A)\cup (Y\cap A)$. On pose $B= Y\cap A\in\mathcal{P}(A)$, Donc on peut ecrire $$ Y=(X\setminus A)\cup B,\quad B\in\mathcal{P}(A).$$ Inversement, on suppose que $Y= (X\setminus A)\cup B$ avec $B\in\mathcal{P}(A)$ On a \begin{align*} Y\cup A&=(X\setminus A)\cup (B\cup A)\cr &= (X\cap \overline{A})\cup A\cr & =X\cap A.\end{align*} Donc $Y\in {\rm Cl}(X)$. Conclusion $$ {\rm Cl}(X)=\{(X\setminus A)\cup B,\;B\in \mathcal{P}(A)\}.$$

Réflexivité : Pour tout élément \(a\) de \(G\), \(a^{-1}a = e\) (l’élément neutre) appartient à \(H\), donc \(a R a\) est vrai.

Symétrie : Si \(a R b\), alors \(a^{-1}b \in H\), ce qui implique \((a^{-1}b)^{-1} = b^{-1}a \in H\). Par conséquent, \(b R a\) est vrai.

Transitivité : Si \(a R b\) et \(b R c\), alors \(a^{-1}b \in H\) et \(b^{-1}c \in H\). Par la propriété des groupes, \((a^{-1}b)(b^{-1}c) = a^{-1}c \in H\), ce qui implique \(a R c\) est vrai.

La relation \(R\) satisfait les propriétés de réflexivité, de symétrie et de transitivité, ce qui en fait une relation d’équivalence sur \(G\).

Classes d’Équivalence Les classes d’équivalence sont déterminées par les éléments de \(G\) qui sont reliés par la relation \(R\). Pour tout élément \(a\) de \(G\), la classe d’équivalence de \(a\) est l’ensemble des éléments \(b\) tels que \(a R b\), c’est-à-dire \(a^{-1}b \in H\). Ces classes regroupent les éléments de \(G\) qui partagent une propriété commune liée à \(H\). On a \begin{align*} x\in {\rm Cl}(a) \Longleftrightarrow a R x \Longleftrightarrow a^{-1} x\in H.\end{align*} Ainsi ${\rm Cl}(a)=aH$.