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Exercices sur les relations d’équivalence

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Nous aborderons des exercices sur les relations d’équivalence et d’ensembles quotients. Certaines notions sur la théorie des ensembles sont importantes. Les classes d’équivalence et donc les ensembles de quotients jouent également un rôle important en algèbre et aussi en analyse. En effet, par exemple, on peut voir l’ensemble des nombres réels comme le quotient de l’ensemble des nombres rationnels par rapport à une relation d’équivalence définie par des suites de Cauchy. Il existe aussi le concept de relations d’ordre.

Relation binaire

Soit $E$ et $F$ deux ensembles non vides. Une relation binaire $\mathcal{R}$ de $E$ vers $E$ est un triplet $(\mathcal{G},E,F)$ avec $\mathcal{G}$ est une partie du produit $E\times F$ (on dit que $\mathcal{G}$ est le graphe de la relation binaire). Soient $x,y\in E$. Alors on dit que $x$ est en relation avec $y$ par la relation $\mathcal{R}$ si $\mathcal{R}$\begin{align*} x \mathcal{R} \Longleftrightarrow (x,y)\in \mathcal{G}.\end{align*}

Exemples: (1) Soit $E=\mathbb{R}$ et $F=\mathbb{Z}$. D’autre part, rappelons aussi que par $E(x)$ la partie entière d’un nombre réel $x$. On definit une partie $\mathcal{G}\subset \mathbb{R}\times \mathbb{Z}$ par \begin{align*} \mathcal{G}:=\{ (x,E(x)): x\in \mathbb{R}\}.\end{align*} On definit alosr une relation binaire de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{Z}$ par \begin{align*} x \mathcal{R} y \Longleftrightarrow y=E(x).\end{align*} (2) On definit une relation binaire de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ par \begin{align*}x \mathcal{R} y \Longleftrightarrow y=x.\end{align*} (3) La relation \begin{align*}x,y\in\mathbb{R},\quad x \mathcal{R} y \Longleftrightarrow \cos^2(x)+\sin^2(y)=1\end{align*} definit une relation binaire de $\mathbb{R}$ dans lui-même.

Quelques definitions

Soit $E$ un ensemble non vide et $\mathcal{R}$ une relation binaire sur $E$. Alors on a les définitions suivantes:

  1. $\mathcal{R}$ est dite réflexive si pour tout $x\in E$ on a $x\mathcal{R} x$ (c’est a dire $x$ est en relation avec lui même)
  2. $\mathcal{R}$ est dite symétrique si: pour tout $x,y\in E$ on a $x\mathcal{R}y$ si et seulement si $y\mathcal{R}x$.
  3. $\mathcal{R}$ est dite transitive si: Pour tout $x,y,z\in E$, si $x\mathcal{R}y$ et $yzmathcal{R}x$ alors $x\mathcal{R}z$.
  4. $\mathcal{R}$ est dite totale si: pour tout $x,y\in E$ on a ou bien $x\mathcal{R}y$ ou bien $y\mathcal{R}x$.
  5. $\mathcal{R}$ est dite une relation d’équivalence sur $E$ si $\mathcal{R}$ est a la fois réflexive, symétrique est transitive. Dans ce cas, l’ensembe \begin{align*} \{y\in E: x\mathcal{R} y\}\end{align*} est dite la classe d’equivalence de $x$ et se note ${\rm cl}(x)$ ou $\overline{x}$.
  6. Ensemble quotient d’un ensemble par une relation d’équivalence On note l’ensemble des classe d’équivalences des éléments de $E$ par une relation d’équivalence $\mathcal{R}$ sur $E$ par: \begin{align*}E/\mathcal{R}:=\{\overline{x}: x\in E\}.\end{align*}

Exemples et exercices sur les relations d’équivalence

Voici quelques exemples sur les relations d’équivalence et les ensembles de quotients. Aussi pour approfondir cette notion nous donnons plus d’exercices sur les relations d’équivalence.

(1) Soit $E=\mathbb{R}$. On considère la relation binaire \begin{align*} x\mathcal{R}y \Longleftrightarrow |x-y|\le \frac{1}{2}.\end{align*} Il est bien claire que la relation $\mathcal{R}$ est réflexive et symétrique. Cependant $\mathcal{R}$ n’est pas transitive sur $\mathbb{R}$. En effet, on prend $x=\frac{1}{4}$ , $y=\frac{1}{2}$ et $z=1$. On a $|\frac{1}{4}-\frac{1}{2}|=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$ donc $\frac{1}{4}\mathcal{R}\frac{1}{2}$. De plus $|\frac{1}{2}-1|=\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}$ donc $\frac{1}{2}\mathcal{R}1$. Mais $|\frac{1}{4}-1|=\frac{3}{4}>\frac{1}{2}$. Donc $\frac{1}{4}$ n’est pas en relation avec $1$. Donc cette relation n’est pas transitive. Ainsi elle n’est pas une relation d’équivalence.

(2) Soit $\mathcal{S}$ l’ensemble de suites de nombres réels. On définit une relation binaire sur $\mathcal{S}$ par \begin{align*} (x_n)_n \mathcal{R} (y_n)_n \Longleftrightarrow x_n-y_n \to 0 \quad (n\to+\infty).\end{align*} Montrons que $\mathcal{R}$ est une relation d’equivalence sur $\mathcal{S}$. En effet, soit trois suites $(x_n), (y_n)$ et $(z_n)$ dans $\mathcal{S}$. Comme la suite nulle tend vers $0$ a l’infini, alors toutes suites est en relation avec elle même, c’est a dire $(x_n)\mathcal{R}(x_n)$, d’ou $\mathcal{R}$ est réflexive. D’autre part, comme $x_n-y_n=-(y_n-x_n)$, alors $\mathcal{R}$ est aussi symétrique. Finalement, si $(x_n)\mathcal{R}(y_n)$ et $(y_n)\mathcal{R}(z_n)$, alors $x_n-y_n\to 0$ et $y_n-z_n\to 0$ quand $n\to+\infty$. Mais on peut aussi écrire \begin{align*} x_n-z_n= (x_n-y_n)+(y_n-z_n). \end{align*}Ceci montre que $x_n-z_n\to 0$ quand $n\to+\infty$ et donc $\mathcal{R}$ est transitive. Ainsi $\mathcal{R}$ est une relations d’équivalence sur $\mathcal{S}$. Remarquons que la classe de la suite nulle $(0)_n$ sont les suites qui tendent vers zéro. Par exemple $\left(\frac{1}{n}\right)_n\in {\rm cl}((0)_n)$.

(3) Soit $E=\mathbb{Z}$ et considérons la relation \begin{align*} p\mathcal{R} q \Longleftrightarrow\; p-q \;\text{divise}\; 2.\end{align*} Comme $p-p=0$ divise $2$ alors la relation $\mathcal{R}$ est réflexive. D’autre part, si $p\mathcal{R} q$ alors il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $p-q=2k,$ et donc $q-p=2(-k)$. Ceci implique que $q\mathcal{R} p$. D’où la symétrie. Soit maintenant $p,q$ et $r$ des nombres relatifs tels que $p\mathcal{R} q$ et $q\mathcal{R} r$. Ce qui signifie que $p-q$ divise $2$ et $q-r$ divise $2$. Donc la somme $(p-q)+(q-r)=p-r$ divise $2$. Donc la relation est aussi transitive. Ce qui donne une relation d’équivalence. Clairement, la classe d’équivalence de $0$ est l’ensemble de nombres relatifs pair: $\overline{0}=2\mathbb{Z}$. De plus, la classe d’équivalence de $1$ est l’ensemble de nombres relatifs impair: $\overline{1}=2\mathbb{Z}+1$. Ceci implique que \begin{align*}\mathbb{Z}/\mathcal{R}=\left\{ \overline{0},\overline{1}\right\}.\end{align*} Cette ensemble se note aussi par \begin{align*}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.\end{align*}

(4) La relation binaire \begin{align*}x,y\in\mathbb{R},\quad x \mathcal{R} y \Longleftrightarrow \cos^2(x)+\sin^2(y)=1\end{align*} est une relation d’equivalence sur $\mathbb{R}$. En effet, comme pour tout $x\in \mathbb{R}$ on a $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1,$ alors $x\mathcal{R}x,$ c’est la réflexivité de la relation. Soit $x,y\in \mathbb{R}$ tels que $x\mathcal{R}y$, c-a-d $\cos^2(x)+\sin^2(y)=1$. Donc $(1-\sin^2(x))+(1-\cos^2(y))=1$. Ce qui donne $\cos^2(y)+\sin^2(x)=1$, et donc $y\mathcal{R}x$. La relation est donc symétrique. Enfin soit $x,y,z\in \mathbb{R}$ tels que $x\mathcal{R}y$ et $y\mathcal{R}z$. On a alors $\cos^2(x)+\sin^2(y)=1$ et $\cos^2(y)+\sin^2(z)=1$. En fait la somme des deux cotes des ces équations, on trouve $\cos^2(x)+(\sin^2(y)+\cos^2(y))+\sin^2(y)=2$, ce qui implique $\cos^2(x)+\sin^2(z)=1$. C’est la transitivité de la relations. Conclusion $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{R}$.

(5) On définit une relation binaire sur l’ensemble de nombres complexes $\mathbb{C}$ par \begin{align*}z,z’\in\mathbb{C},\quad z \mathcal{R} z’ \Longleftrightarrow |z|=|z’|.\end{align*} Montrons que $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{C}$. En effet, pour tout $z\in \mathbb{C}$ on a $|z|=|z|$, donc $z\mathcal{R}z,$ d’ou la réflexivité de la relation. D’autre part, soient $z,z’\in\mathbb{C}$ tels que $z\mathcal{R}z’,$ c-a-d $|z|=|z’|$. Alors on a aussi $|z’|=|z|$, ce qui signifie que $z’\mathcal{R}z,$ c’est la symétrie de $\mathcal{R}$. Pour la transitivité, soient $z,z’,\ddot{z}\in \mathbb{C}$ tels que $z\mathcal{R}z’$ et $z’\mathcal{R}\ddot{z}$. Donc $|z|=|z’|$ et $|z’|=|\ddot{z}|$. Par suite $|z|=|\ddot{z}|$, ainsi $z\mathcal{R}\ddot{z}$. Conclusion, $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{C}$. La classe d’équivalence d’un nombre complexe $z$ par cette relation est donnée par \begin{align*} {\rm cl}(z)=\{z’in\mathbb{C}: |z|=|z’|\}=C(0,|z|),\end{align*} avec $C(0,|z|)$ est le cercle de centre $0$ et de rayon $|z|$. Donc l’ensemble quotient de $\mathbb{C}$ par cette relation est \begin{align*} \mathbb{C}/\mathcal{R}=\{{\rm cl}(z):z\in\mathbb{C}\}=\bigcup_{z\in\mathbb{C}} C(0,|z|).\end{align*}

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