Nous proposons des exercices sur les relations d’équivalence, un sujet fondamental en mathématiques. Ces exercices pratiques vous guideront à travers les nuances et les applications concrètes des relations d’equivalence. En explorant ces exercices, vous développerez une compréhension solide de la manière dont les relations d’équivalence fonctionnent et comment elles peuvent être utilisées pour classer et analyser les éléments d’un ensemble.
Nous rappelons d’une relations d’équivalence est un relation binaire qui satisfait trois propriétés cruciales : réflexivité, symétrie et transitivité.
Une selection d’exercices sur les relations d’équivalence
Exercice 1: ⭐⭐☆☆☆ Soit $E=\mathbb{R}$. On considère la relation binaire \begin{align*} x\mathcal{R}y \Longleftrightarrow |x-y|\le \frac{1}{2}.\end{align*} Est ce que $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence?
Il est bien claire que la relation $\mathcal{R}$ est réflexive et symétrique. Cependant $\mathcal{R}$ n’est pas transitive sur $\mathbb{R}$. En effet, on prend $x=\frac{1}{4}$ , $y=\frac{1}{2}$ et $z=1$. On a $|\frac{1}{4}-\frac{1}{2}|=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$ donc $\frac{1}{4}\mathcal{R}\frac{1}{2}$. De plus $|\frac{1}{2}-1|=\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}$ donc $\frac{1}{2}\mathcal{R}1$. Mais $|\frac{1}{4}-1|=\frac{3}{4}>\frac{1}{2}$. Donc $\frac{1}{4}$ n’est pas en relation avec $1$. Donc cette relation n’est pas transitive. Ainsi elle n’est pas une relation d’équivalence.
Exercice 2: ⭐⭐☆☆☆ Soit $\mathcal{S}$ l’ensemble de suites de nombres réels. On définit une relation binaire sur $\mathcal{S}$ par \begin{align*} (x_n)_n \mathcal{R} (y_n)_n \Longleftrightarrow x_n-y_n \to 0 \quad (n\to+\infty).\end{align*} Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d’equivalence sur $\mathcal{S}$.
Soient trois suites $(x_n), (y_n)$ et $(z_n)$ dans $\mathcal{S}$. Comme la suite nulle tend vers $0$ a l’infini, alors toutes suites est en relation avec elle même, c’est a dire $(x_n)\mathcal{R}(x_n)$, d’ou $\mathcal{R}$ est réflexive. D’autre part, comme $x_n-y_n=-(y_n-x_n)$, alors $\mathcal{R}$ est aussi symétrique. Finalement, si $(x_n)\mathcal{R}(y_n)$ et $(y_n)\mathcal{R}(z_n)$, alors $x_n-y_n\to 0$ et $y_n-z_n\to 0$ quand $n\to+\infty$. Mais on peut aussi écrire \begin{align*} x_n-z_n= (x_n-y_n)+(y_n-z_n). \end{align*}Ceci montre que $x_n-z_n\to 0$ quand $n\to+\infty$ et donc $\mathcal{R}$ est transitive. Ainsi $\mathcal{R}$ est une relations d’équivalence sur $\mathcal{S}$. Remarquons que la classe de la suite nulle $(0)_n$ sont les suites qui tendent vers zéro. Par exemple $\left(\frac{1}{n}\right)_n\in {\rm cl}((0)_n)$.
Exercice 3: ⭐⭐☆☆☆ Soit $E=\mathbb{Z}$ et considérons la relation \begin{align*} p\mathcal{R} q \Longleftrightarrow\; p-q \;\text{divise}\; 2.\end{align*} Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence
Comme $p-p=0$ divise $2$ alors la relation $\mathcal{R}$ est réflexive. D’autre part, si $p\mathcal{R} q$ alors il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $p-q=2k,$ et donc $q-p=2(-k)$. Ceci implique que $q\mathcal{R} p$. D’où la symétrie. Soit maintenant $p,q$ et $r$ des nombres relatifs tels que $p\mathcal{R} q$ et $q\mathcal{R} r$. Ce qui signifie que $p-q$ divise $2$ et $q-r$ divise $2$. Donc la somme $(p-q)+(q-r)=p-r$ divise $2$. Donc la relation est aussi transitive. Ce qui donne une relation d’équivalence. Clairement, la classe d’équivalence de $0$ est l’ensemble de nombres relatifs pair: $\overline{0}=2\mathbb{Z}$. De plus, la classe d’équivalence de $1$ est l’ensemble de nombres relatifs impair: $\overline{1}=2\mathbb{Z}+1$. Ceci implique que \begin{align*}\mathbb{Z}/\mathcal{R}=\left\{ \overline{0},\overline{1}\right\}.\end{align*} Cette ensemble se note aussi par \begin{align*}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.\end{align*}
Exercice 4: ⭐☆☆☆☆ Montrer que la relation binaire \begin{align*}x,y\in\mathbb{R},\quad x \mathcal{R} y \Longleftrightarrow \cos^2(x)+\sin^2(y)=1\end{align*} est une relation d’equivalence sur $\mathbb{R}$.
Comme pour tout $x\in \mathbb{R}$ on a $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1,$ alors $x\mathcal{R}x,$ c’est la réflexivité de la relation. Soit $x,y\in \mathbb{R}$ tels que $x\mathcal{R}y$, c-a-d $\cos^2(x)+\sin^2(y)=1$. Donc $(1-\sin^2(x))+(1-\cos^2(y))=1$. Ce qui donne $\cos^2(y)+\sin^2(x)=1$, et donc $y\mathcal{R}x$. La relation est donc symétrique. Enfin soit $x,y,z\in \mathbb{R}$ tels que $x\mathcal{R}y$ et $y\mathcal{R}z$. On a alors $\cos^2(x)+\sin^2(y)=1$ et $\cos^2(y)+\sin^2(z)=1$. En fait la somme des deux cotes des ces équations, on trouve $\cos^2(x)+(\sin^2(y)+\cos^2(y))+\sin^2(y)=2$, ce qui implique $\cos^2(x)+\sin^2(z)=1$. C’est la transitivité de la relations. Conclusion $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{R}$.
Exercice 5: ⭐⭐☆☆☆ On définit une relation binaire sur l’ensemble de nombres complexes $\mathbb{C}$ par \begin{align*}z,z’\in\mathbb{C},\quad z \mathcal{R} z’ \Longleftrightarrow |z|=|z’|.\end{align*} Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{C}$.
Pour tout $z\in \mathbb{C}$ on a $|z|=|z|$, donc $z\mathcal{R}z,$ d’ou la réflexivité de la relation. D’autre part, soient $z,z’\in\mathbb{C}$ tels que $z\mathcal{R}z’,$ c-a-d $|z|=|z’|$. Alors on a aussi $|z’|=|z|$, ce qui signifie que $z’\mathcal{R}z,$ c’est la symétrie de $\mathcal{R}$. Pour la transitivité, soient $z,z’,\ddot{z}\in \mathbb{C}$ tels que $z\mathcal{R}z’$ et $z’\mathcal{R}\ddot{z}$. Donc $|z|=|z’|$ et $|z’|=|\ddot{z}|$. Par suite $|z|=|\ddot{z}|$, ainsi $z\mathcal{R}\ddot{z}$. Conclusion, $\mathcal{R}$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{C}$. La classe d’équivalence d’un nombre complexe $z$ par cette relation est donnée par \begin{align*} {\rm cl}(z)=\{z’\in\mathbb{C}: |z|=|z’|\}=C(0,|z|),\end{align*} avec $C(0,|z|)$ est le cercle de centre $0$ et de rayon $|z|$. Donc l’ensemble quotient de $\mathbb{C}$ par cette relation est \begin{align*} \mathbb{C}/\mathcal{R}=\{{\rm cl}(z):z\in\mathbb{C}\}=\bigcup_{z\in\mathbb{C}} C(0,|z|).\end{align*}
Exercice 6: ⭐⭐☆☆☆ Soit la relation suivante: $$ x,y\in\mathbb{R},\; xRy \Longleftrightarrow xe^y=ye^x.$$ Montrer que $R$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{R}$. Étudier les classes des éléments $x$ modulo $R$.
$\bullet$ Pour tout $x\in \mathbb{R}$ on a $xe^x=xe^x$, donc $xRx$. ce qui implique que la relation $R$ est réflexive. Maintenant, soit $x,y\in \mathbb{R}$ tel que $xRy$. On a alors $xe^y=ye^x$, ou bien encore $ye^x=xe^y,$ et donc $yRx$. Ainsi $R$ est symétrique. Enfin, soit $x,y,z\in \mathbb{R}$ tel que $xRy$ et $yRz$. En particulier, $xe^y=ye^x$ et $ye^z=ze^y$. Ce qui donne $$\frac{x}{e^x}=\frac{y}{e^y}=\frac{z}{e^z}.$$ Par suite $xe^z=ze^x$, ce qui traduit $xRz$. C’est la transitivité de la relation $R$. Conclusion, $R$ est une relation d’équivalence sur $\mathbb{R}$.
$\bullet$ On note par $\overline{x}$ la classe d’équivalence de $x$ modulo $R$. Maintenant, si on pose $\psi(s)=\frac{s}{e^s}$, alors \begin{align*} \overline{x}&=\{y\in \mathbb{R}: yRx\}\cr &= \{y\in \mathbb{R}: ye^x=xe^y\} \cr & =\{y\in \mathbb{R}: \frac{y}{e^y}=\frac{x}{e^x}\}\cr &= \{y\in \mathbb{R}: \psi(y)=\psi(x)\}.\end{align*} Ainsi $$ \overline{x}=\psi^{-1}\{\psi(x)\}.$$
Relation d’équivalence sur l’ensemble des parties
Exercice 7: ⭐⭐⭐☆☆ Soit $E$ un ensemble et $A$ une partie de $E$. On definit une relation sur $\mathcal{P}(E)$ par $$ X\mathscr{R}Y \Longleftrightarrow A\cup X=A\cup Y.$$
- Montrer que $\mathscr{R}$ est une relation d’équivalence sur $\mathcal{P}(E)$.
- Déterminer la classe d’équivalence d’un élément $X\in \mathcal{P}(E)$.
- Il est simple de voir que la relation $\mathscr{R}$ est réfexive, symétrique et transitive. Donc c’est une relation d’équivalence sur $\mathcal{P}(E)$.
- Soit $X\in \mathcal{P}(E)$ et trouvons la classe de $X$, ${\rm Cl}(X)$, par rapport à $\mathscr{R}$. Soit $Y\in {\rm Cl}(X)$. Donc $A\cup Y=X\cup A$. Soit $y\in (Y\setminus A)\subset A\cup Y= X\cup A$. Donc $y\in X$ et $y\notin A$. Cela implique $(Y\setminus A)\subset (X\setminus A)$, Par symétrie nous avons aussi $(X\setminus A)\subset (Y\setminus A)$. Donc $Y\setminus A= X\setminus A$. Maintenant, remarquons que $Y=(X\setminus A)\cup (Y\cap A)=(Y\setminus A)\cup (Y\cap A)$. On pose $B= Y\cap A\in\mathcal{P}(A)$, Donc on peut ecrire $$ Y=(X\setminus A)\cup B,\quad B\in\mathcal{P}(A).$$ Inversement, on suppose que $Y= (X\setminus A)\cup B$ avec $B\in\mathcal{P}(A)$ On a \begin{align*} Y\cup A&=(X\setminus A)\cup (B\cup A)\cr &= (X\cap \overline{A})\cup A\cr & =X\cap A.\end{align*} Donc $Y\in {\rm Cl}(X)$. Conclusion $$ {\rm Cl}(X)=\{(X\setminus A)\cup B,\;B\in \mathcal{P}(A)\}.$$
Une relation d’équivalence définie sur un Groupe
Exercice 8: ⭐☆☆☆☆ Soit \(G\) un groupe fini et \(H\) un sous-groupe de \(G\). Définissons une relation \(R\) sur \(G\) en déclarant \(a R b\) si et seulement si \(a^{-1}b \in H\), où \(a^{-1}\) est l’inverse de \(a\) dans \(G\). Montrez que \(R\) est une relation d’équivalence sur \(G\). En outre, montrez que les classes d’équivalence forment une partition de \(G\).
Réflexivité : Pour tout élément \(a\) de \(G\), \(a^{-1}a = e\) (l’élément neutre) appartient à \(H\), donc \(a R a\) est vrai.
Symétrie : Si \(a R b\), alors \(a^{-1}b \in H\), ce qui implique \((a^{-1}b)^{-1} = b^{-1}a \in H\). Par conséquent, \(b R a\) est vrai.
Transitivité : Si \(a R b\) et \(b R c\), alors \(a^{-1}b \in H\) et \(b^{-1}c \in H\). Par la propriété des groupes, \((a^{-1}b)(b^{-1}c) = a^{-1}c \in H\), ce qui implique \(a R c\) est vrai.
La relation \(R\) satisfait les propriétés de réflexivité, de symétrie et de transitivité, ce qui en fait une relation d’équivalence sur \(G\).
Classes d’Équivalence Les classes d’équivalence sont déterminées par les éléments de \(G\) qui sont reliés par la relation \(R\). Pour tout élément \(a\) de \(G\), la classe d’équivalence de \(a\) est l’ensemble des éléments \(b\) tels que \(a R b\), c’est-à-dire \(a^{-1}b \in H\). Ces classes regroupent les éléments de \(G\) qui partagent une propriété commune liée à \(H\). On a \begin{align*} x\in {\rm Cl}(a) \Longleftrightarrow a R x \Longleftrightarrow a^{-1} x\in H.\end{align*} Ainsi ${\rm Cl}(a)=aH$.
Quelques definitions
Soit $E$ un ensemble non vide et $\mathcal{R}$ une relation binaire sur $E$. Alors on a les définitions suivantes:
- $\mathcal{R}$ est dite réflexive si pour tout $x\in E$ on a $x\mathcal{R} x$ (c’est a dire $x$ est en relation avec lui même)
- $\mathcal{R}$ est dite symétrique si: pour tout $x,y\in E$ on a $x\mathcal{R}y$ si et seulement si $y\mathcal{R}x$.
- $\mathcal{R}$ est dite transitive si: Pour tout $x,y,z\in E$, si $x\mathcal{R}y$ et $yzmathcal{R}x$ alors $x\mathcal{R}z$.
- $\mathcal{R}$ est dite totale si: pour tout $x,y\in E$ on a ou bien $x\mathcal{R}y$ ou bien $y\mathcal{R}x$.
- $\mathcal{R}$ est dite une relation d’équivalence sur $E$ si $\mathcal{R}$ est a la fois réflexive, symétrique est transitive. Dans ce cas, l’ensembe \begin{align*} \{y\in E: x\mathcal{R} y\}\end{align*} est dite la classe d’equivalence de $x$ et se note ${\rm cl}(x)$ ou $\overline{x}$.
- Ensemble quotient d’un ensemble par une relation d’équivalence On note l’ensemble des classe d’équivalences des éléments de $E$ par une relation d’équivalence $\mathcal{R}$ sur $E$ par: \begin{align*}E/\mathcal{R}:=\{\overline{x}: x\in E\}.\end{align*}
