Le raisonnement par récurrence est une méthode essentielle en mathématiques pour démontrer des propriétés ou des théorèmes concernant les entiers naturels. Cette technique repose sur un principe logique simple : si une propriété est vraie pour un entier de départ et que sa validité pour un entier nnn implique sa validité pour $n+1$, alors cette propriété est vraie pour tous les entiers naturels supérieurs ou égaux au point de départ. Dans cet article, nous allons explorer en détail le raisonnement par récurrence, ses étapes, et ses applications à travers des exemples concrets.
Définition du Raisonnement par Récurrence
Le raisonnement par récurrence consiste à prouver une propriété $P(n)$ pour tous les entiers $n \geq n_0$, où $n_0$ est un entier donné. Cela s’effectue en deux étapes principales :
- Initialisation : Vérifier que la propriété $P(n)$ est vraie pour $n=n_0$. $$ \text{Montrer que}\; P(n_0)\; \text{est vraie}.$$
- Hérédité : Supposer que la propriété est vraie pour un entier $k \geq n_0$ et montrer qu’elle est vraie pour $k+1$. $$P(k) \implies P(k+1).$$
Si ces deux étapes sont remplies, alors, selon le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$.
Étapes du Raisonnement par Récurrence
1. Initialisation
On prouve que la propriété est vraie pour l’entier de départ $n_0$ .$$\text{Montrer que } \;P(n_0)\; \text{ est vraie.}$$
2. Hypothèse de récurrence
On suppose que la propriété est vraie pour un entier $k$ donné.$$\text{Supposons que }\; P(k) \;\text{ est vraie.}$$
3. Étape héréditaire
On montre que la propriété est vraie pour $k+1$, en utilisant l’hypothèse $P(k)$.$$\text{Montrer que } P(k) \implies P(k+1).$$
Conclusion
D’après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$.
Exemple Classique : Somme des nnn Premiers Entiers Naturels
Problème
Prouvons que pour tout entier $n \geq 1$, la somme des $n$ premiers entiers naturels est donnée par :$$S(n) = \frac{n(n+1)}{2}.$$
Solution
- Initialisation
Pour $n=1$, on a : $$S(1) = 1 = \frac{1(1+1)}{2}.$$. La propriété est vraie pour $n=1$. - Hypothèse de récurrence
Supposons que la formule est vraie pour un entier $k$, c’est-à-dire :
$$S(k) = \frac{k(k+1)}{2}.$$
- Étape héréditaire
Montrons que la formule est vraie pour $k+1$, c’est-à-dire :
$$S(k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}.$$
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a $$S(k+1) = S(k) + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1).$$
Factorisons $(k+1)$ :$$S(k+1) = (k+1) \left( \frac{k}{2} + 1 \right) = (k+1) \left( \frac{k+2}{2} \right) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}.$$
La propriété est donc vraie pour $k+1$.
- Conclusion
Par le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout$n \geq 1$.
Applications du Raisonnement par Récurrence
1. Inégalités
Prouver des inégalités comme :$2^n > n^2, \quad \forall n \geq 5.$.
2. Divisibilité
Montrer que $7^n – 1$ est divisible par 6 pour tout $n \geq 1$.
3. Algorithmes
Vérifier la validité des algorithmes, comme la preuve de la complexité d’un tri par insertion.
Exercice d’Application
Problème :
Prouvez que pour tout entier $n \geq 1$, la somme des carrés des nnn premiers entiers naturels est donnée par :$$S(n) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$
Indication : Suivez les étapes du raisonnement par récurrence.
Exercice corrigés
Montrer par récurrence que pour tout entier n⩾1, on a : $$ S_n=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots+\frac{1}{n\times (n+1)}=1-\frac{1}{n+1}.$$ En effet, pour n=1, on a $S_1=\frac{1}{1\times 2}=1-\frac{1}{1+1}$. Donc c’est vraie. En suite, en suppose que $S_n$ est vraie, et montrons que $S_{n+1}$ est vraie. On a \begin{align*} S_n&=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots+\frac{1}{n\times (n+1)}+\frac{1}{(n+1)\times (n+2)}\cr &= S_n+\frac{1}{(n+1)\times (n+2)}\cr &=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)\times (n+2)}\cr &= 1-\frac{1}{n+2}.\end{align*}
Conclusion
Le raisonnement par récurrence est une méthode rigoureuse et élégante utilisée pour démontrer une infinité de résultats à partir de quelques étapes simples. En maîtrisant cette technique, vous pouvez résoudre des problèmes variés, des séries aux algorithmes, en passant par les preuves d’inégalités.
Pratiquez régulièrement pour approfondir votre compréhension et votre maîtrise de ce puissant outil mathématique.
