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Loi Gamma

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L’une des lois les plus pratiques est la loi gamma. Il est utilisé pour surveiller la durée de vie des équipements et des machines. Ainsi, pour les dispositifs médicaux, son utilisation est cruciale. La distribution gamma est plus fine que la loi exponentielle. Cette dernière est utilisé dans les modèles mathématiques de longue durée de vie (sans vieillissement).

Définition mathématique du loi gamma

Dans toute la suite, on travail dans une espace probabilisé $(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})$.

Définition: Une variable aléatoire $X$ suit la loi Gamma de paramètres $p>0$ et $\lambda>0$ (on écrit $X\sim \Gamma(p,\lambda)$) si elle admet comme densité la fonction suivante \begin{align*} f_X(x)=\frac{\lambda^p}{\Gamma(p)}e^{-\lambda x} x^{p-1}1_{\mathbb{R}^+}(x).\end{align*}

Ici $\Gamma$ est la fonction gamma très connue. Notez que la distribution gamma est une autre distribution largement utilisée. Son importance est largement due à sa relation avec les distributions exponentielles et normales.

Remarque: Si $X\sim \Gamma(1,\lambda)$, on a \begin{align*} f_X(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},& x\ge 0,\cr 0,& \text{sinon}.\end{cases}\end{align*} C’est exactement densité associe a la loi exponentielle $\mathscr{E}(\lambda)$. Ainsi $\Gamma(1,\lambda)=\mathscr{E}(\lambda)$. Plus généralement, si vous ajoutez $n$ variables aléatoires indépendantes $\{X_1,\cdots,X_n\}$ telles que $X_i\in\mathscr{E}(\lambda)$ pour tout $i$, alors vous obtiendra une variable aléatoire $$X=X_1+\cdots+X_n\in \Gamma(n,\lambda).$$ La loi ainsi obtenue est appelée la loi d’Erland. En lait, la loi d’Erland est actuellement utilisée en biomathématique et dans les processus stochastiques. De plus la loi d’Erlang est relativement fréquent dans les énoncé de certaines concours de grandes écoles d’ingénieurs en France.

Espérance de la loi Gamma

Soit $X\in\Gamma(p,\lambda)$. Alors on a \begin{align*}\mathbb{E}(X)&=\frac{\lambda^p}{\Gamma(p)}\int^{+\infty}_{0} e^{-\lambda x} x^p dx\cr &\underset{y=\lambda x}{=}\frac{\lambda^{p-1}}{\Gamma(p) }\int^{+\infty}_{0} e^{-y} \left(\frac{y}{\lambda}\right)^p dy\cr & = \frac{\Gamma(p+1)}{\lambda \Gamma(p)}.\end{align*} Ainsi, puisque $\Gamma(p)=p\Gamma(p),$ alors l’espérance du variable aléatoire $X$ qui suit la loi gamma est donné par \begin{align*} \mathbb{E}(X)=\frac{p}{\lambda}.\end{align*} Plus généralement, on peut faire exactement le même calcul et les propriétés de la fonction Gamma d’Euler, pour démontrer que le moment d’ordre $r\in\mathbb{N}^\ast$ de $X$ est \begin{align*} \mathbb{E}(X^r)=\frac{p(p+1)\cdots(p+r-1)}{\lambda^r}.\end{align*}

Variance de la loi gamma

On se donne une variable aléatoire $X\in \Gamma(p,\lambda)$. La variance de cette variable est par définition $\sigma^2=V(x)=\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X))^2$. Pour le changement de variable $y=\lambda x,$ on a \begin{align*}\mathbb{E}(X^2)& =\frac{1}{\lambda ^2\Gamma(p)}\int^{+\infty}_0 e^{-y} y^{p+1}dy\cr &= \frac{\Gamma(p+2)}{\lambda^2 \Gamma(p)}=\frac{p(p+1)}{\lambda^2}.\end{align*} Cela implique que \begin{align*} V(X)=\frac{p(p+1)}{\lambda^2}-\frac{p^2}{\lambda^2}=\frac{p}{\lambda^2}.\end{align*} Ainsi la variance d’une variable aléatoire qui suit la loi gamma est \begin{align*}V(X)=\frac{p}{\lambda^2}.\end{align*}

La fonction caractéristique

Par définition la fonction caractéristique d’une variable aléatoire $X:\Omega\to \mathbb{R}$ est $\varphi_X(t)=\mathbb{E}(e^{it X})$. De plus si cette variable admet une densite $f_X$, alors on a \begin{align*}\varphi_X(t)=\int^{+\infty}_{-\infty} e^{ixt}f_X(x)dx.\end{align*} Maintenant on suppose que $X$ suit la loi gamma de paramètres $p>0$ et $\lambda>0,$ alors on a \begin{align*} \varphi_X(t)= \left(\frac{\lambda}{\lambda-it}\right)^p.\end{align*}

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