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Exercices sur la loi normale

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On propose des exercices sur la loi normale. C’est une loi de probabilité symétrique, sa moyenne (moyenne), sa médiane (point médian) et son mode (observation la plus fréquente) sont tous égaux les uns aux autres. De plus, ces valeurs représentent toutes le pic, ou le point le plus élevé, de la distribution.

La loi normale est aussi appelé loi gaussienne. Dans la suite de cet article nous donnons quelques propriétés ainsi que des exercices sur la loi normale.

Généralités sur la loi normale

On se place dans un espace probabilisé $(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})$.

Définition: Une variable aléatoire $X$ suit un loi normale de paramètres $m\in\mathbb{R}$ et $\sigma\ge 0$ et on écrit $X\sim \mathscr{N}(m,\sigma^2)$ si elle admet la densité suivante \begin{align*}f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}\end{align*} dans le cas ou $\sigma>0$.

Si $X\sim \mathscr{N}(m,\sigma^2)$ alors on a les quantités suivantes:

  • Espérance: \begin{align*} \mathbb{E}(X)=m.\end{align*}
  • Variance: \begin{align*} V(X)=\sigma^2.\end{align*}
  • fonction caractéristique: \begin{align*} \varphi_X(t)=e^{imt-\frac{\sigma^2t^2}{2}}.\end{align*}

Un cas particulier important: Lorsque $m=0$ et $\sigma=1,$ alors on dit que $X\sim \mathscr{N}(0,1)$ suit la loi normale réduite. Dans ce cas $X$ est une gaussienne standard.

Lorsque suit une loi normale alors elle sera appelé une variable gaussienne. Il convient également de noter que la classe des variables gaussiennes est remarquable et mérite une attention particulière. C’est une classe très régulière par rapport aux autres variables aléatoires à densité.

Un sélection d’exercice sur la loi normale

Exercice 1: Soit $X\in\mathscr{N}(0,1)$. Montrer que pour tout $t>0$ on a \begin{align*} \mathbb{P}(X>t)\le \frac{1}{2}e^{-\frac{t^2}{2}}\quad\text{et} \quad\mathbb{P}(X>t)\underset{t\to\infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{e^{-\frac{t^2}{2}}}{t}.\end{align*}

Solution: On a \begin{align*} \mathbb{P}(X>t)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_t e^{\frac{-x^2}{2}}dx\cr &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_0 e^{\frac{-(x+t)^2}{2}}dx\cr & =\frac{e^{\frac{-t^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}} \int^{+\infty}_0 e^{-xt} e^{\frac{-x^2}{2}}dx\cr & \le e^{\frac{-t^2}{2}} \int^{+\infty}_0 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\frac{1}{2}e^{-\frac{t^2}{2}}.\end{align*} D’après le calcul précèdent, on a \begin{align*} \mathbb{P}(X>t)&= \frac{e^{\frac{-t^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}} \int^{+\infty}_0 e^{-xt} e^{\frac{-x^2}{2}}dx\cr & \underset{y=xt}{=} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{e^{-\frac{t^2}{2}}}{t} \int^{+\infty}_0 e^{-y} e^{-\frac{y^2}{2t^2}}dy.\end{align*} On a $e^{-y} e^{-\frac{y^2}{2t^2}}\to e^{-y}$ quand $t\to+\infty,$ $0<e^{-y} e^{-\frac{y^2}{2t^2}}\le e^{-y},$ et que la fonction $y\mapsto e^{-y}$ est intégrable sur $[0,+\infty[$. Donc par le théorème de convergence dominée on a \begin{align*} \int^{+\infty}_0 e^{-y} e^{-\frac{y^2}{2t^2}}dy\to \int^{+\infty}_0 e^{-y}dy=1\quad (t\to\infty).\end{align*} D’où le résultat.

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