L’anneau des polynômes et les fonctions polynomiales jouent un rôle important dans l’algèbre linéaire, en particulier le polynôme scindé il entre dans les propriétés des matrices trigonalisables.
Définition d’un polynôme scindé
Soit $\mathbb{K}$ un corps. Un polynôme non nul $P\in \mathbb{K}[X]$ est dit scindé sur $\mathbb{K}$ si il prend la forme suivante \begin{align*} P= \lambda (X-a_1)^{n_1}(X-a_2)^{n_2}\cdots (X-a_r)^{n_r}\end{align*} avec $\lambda,a_1,\cdots,a_r$ des coefficients dans $\mathbb{K}$ et $n_1,n_2,\cdots,n_r$ sont des entiers naturels tels que $n_1+n_2+\cdots+n_r=n:=\deg(P)$.
Notez que le choix du corps est très important. En effet le polynome $P=X^2+1$ est scindé sur $\mathbb{C},$ mais pas sur $\mathbb{R}$.
Une matrice $A\in\mathscr{M}_n(\mathbb{C})$ est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{K}$. De plus, les coefficients diagonaux d’une matrice triangulaire semblable a $A$ sont ses valeurs propres comptées avec multiplicité.
Applications de ce polynôme
Exercice: Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ scindé à racines simples dans $\mathbb{R}$. Montrer que pour tout $\alpha\in\mathbb{R}^\ast,$ les racine de $P^2+\alpha^2$ dans $\mathbb{C}$ sont toutes simples.
Solution: Par hypothèse on a $P=(X-\lambda_1)\cdots (X-\lambda_n)$ avec $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\in\mathbb{R}$. Sans perdre de généralité on peut supposer que $\lambda_1<\lambda_2<\cdots<\lambda_n$. Par application des théorème de Rolle il existe $c_i\in ]\lambda_{i-1},\lambda_i[$ pour $i=1.2.\cdots,n$ tel que $P'(c_i)=0$. Donc les racines de $P’$ sont réelles. D’autre part, les racines multiples de $P^2+\alpha^2$ sont aussi les racines de $(P^2+\alpha^2)’=2PP’$. Notez que les racine de $P^2+\alpha^2$ ne sont pas réelles. Par contre les racines de $PP’$ sont réelles. Ce qui est absurde. Par conséquent les racines de $P^2+\alpha^2$ ne sont pas multiple.
Exercice: Soient $p,q\in\mathbb{R}$. Montrer que $X^3+pX+q$ et scindé sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $4p^3+27q^2\le 0$.
Solution: Soit la fonction $P(t)=t^3+pt+q$ pour tout $t\in\mathbb{R}$. Il est claire que la fonction $P$ est dérivable et que $P'(t)=3t^2+p$ pour tout $t\in\mathbb{R}$. Nous distinguerons trois cas.
- Cas $p>0$. Dans ce cas on $P’>0,$ est donc $P$ est strictement croissantes. Comme $P$ est aussi continue, alors $P$ admet une seule racine réelle. Bien entendu cette racine n’est pas une racine de $P’$. Ainsi $P$ n’est pas scindé. Notez que la relation $4p^3+27q^2\le 0$ n’est aussi vérifiée.
- cas $p=0$. De même dans ce cas on a aussi $P$ est strictement croissante dans $P$ admet une seule racine. Si $q\neq 0,$ alors cette racine n’est pas nulle, est c’est une racine simple. Par contre si $q=0$, alors cette racine est nulle est il est triple, donc $P$ est scindé si et seulement si $q=0$. De plus la condition $4p^3+27q^2\le 0$ n’est vrai que si $q=0$.
- Cas $p<0$, dans ce cas, P’ s’annule au point $\alpha=\sqrt{\frac{-p}{3}}$ et le tableau de variations de $P$ est
Selon le tableau de variations, $P$ admet trois racines réelles si, et seulement si $P(-\alpha)\ge 0$ et $P(\alpha)\le 0$. Cela est équivalent a $P(-\alpha)P(\alpha)\le 0$, puisque $P(-\alpha)\ge P(\alpha)$. Un simple calcul montre que \begin{align*}P(-\alpha) P(\alpha)=\frac{4p^3+27q^2}{27}.\end{align*} Donc $P$ est scindé si et seulement si $4p^3+27q^2\le 0$.
