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Loi d’une variable aléatoire

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La loi d’une variable aléatoire est une mesure de probabilité qui joue un rôle important dans la théorie des probabilités. Il décrit en détail la distribution des valeurs de cette variable.

Définition de la loi d’une variable aléatoire

Avant de discuter de la loi d’une variable aléatoire, il convient d’introduire quelques notations. En effet, on fixe un espace de probabilité $(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})$. Pour une variable aléatoire $X:\Omega\to\mathbb{R}$ et un nombre réel $c$, l’événement $\{\omega:X(\omega)\le c\}$ est souvent noté $ \{ X\le c\}$. La probabilité de cet événement est bien définie car (par mesurabilité de $X$) l’événement appartient à $\mathscr{A}$. Soit $\mathscr{B}$ la tribu boriélienne définie par des ensembles ouverts de $\mathbb{R}$. Pour $B\in\mathscr{B},$ l’evenement $\{\omega:X(\omega)\in B\}$ sera noté par $\{X\in B\}$ ou bien $X^{-1}(B)$.

Définition: La loi d’une variable aleatoire $X:(\Omega,\mathscr{A})\to (\mathbb{R},\mathscr{B})$ est define par: \begin{align*}\mathbb{P}_X(B)=\mathbb{P}(X\in B)=\mathbb{P}\circ X^{-1}(B),\qquad B\in\mathscr{B}.\end{align*} On a alors $\mathbb{P}_X=\mathbb{P}\circ X^{-1}:\mathscr{B}\to\mathbb{R}$ est une mesure de probabilité.

Remarque: Dans de nombreux cas, l’espace de probabilité d’origine $(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})$ reste en arrière-plan, caché ou inutilisé, et on travaille directement avec l’espace de probabilité beaucoup plus tangible $(\mathbb{R},\mathscr{B},\mathbb{P}_X)$.

Si $X:\Omega\to\mathbb{N}$ une variable aléatoire discrète, alors la loi de probabilité de $X$ est donnée par une suite $(p_n)_n$ telle que $p_n=\mathbb{P}(X=n)$.

Soit $X:(\Omega,\mathscr{A})\to (\mathbb{R},\mathscr{B})$ une variable aleatoite de loi $\mathbb{P}_X$ et soit $\psi: (\mathbb{R},\mathscr{B})\to (\mathbb{R},\mathscr{B})$ une fonction mesurable (i.e. pour tout $B\in \mathscr{B},$ $\psi^{-1}(B)\in\mathscr{B}$). Alors $\psi(X):(\Omega,\mathscr{A})\to (\mathbb{R},\mathscr{B})$ est une variable aléatoire d’espérance \begin{align*} \mathbb{E}(\psi(X))=\int_{\mathbb{R}} \psi(x) d\mathbb{P}_X(x).\end{align*} C’est le Théorème de transfert.

Les lois classiques

Dans toute la suite on travail dans un espace de probabilité $(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})$.

  • Une variable aléatoire $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p\in [0,1]$ si $X(\Omega)\subset{0,1}$ et $P(X=0)=1-p$ et $P(X=1)=p$.
  • $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ avec $p\in [0,1]$ et $n\in\mathbb{N}$ si $X=X_1+\cdots+X_n$ avec chaque $X_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$, les $X_i$ sont indépendantes. On a alors \begin{align*} &\mathbb{P}(X=k)=C^k_n p^k (1-p)^{n-k}\quad (0\le k\le n),\cr & \mathbb{E}(X)=np,\cr & V(X)=npq.\end{align*}
  • Une variable aléatoire $X$ suit une loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ de paramètre $p\in ]0,1[$ si $X(\Omega)=\mathbb{N}^\ast$ et $P(X=k)=(1-p)^kp$ pour tout $k\in\mathbb{N}^\ast$.
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