La règle de Cauchy pour les séries est un grand succès pour la convergence d’une importante classe de séries. Elle est plus fine que la règle de d’Alembert en ce sens que si la règle de d’Alembert fonctionne, celle de Cauchy fonctionne aussi. Alors découvrons cette règle ensemble et donnons quelques applications de la règle.
Le critère de Cauchy et un des outil les plus célèbre pour la convergence des séries numériques.
Résumé sur la règle de Cauchy pour les séries
Le critère de Cauchy suivant s’applique dans les situation où celui de d’Alembert ne s’applique pas.
- Théorème (règle de Cauchy): Soit $(u_n)_n$ une suite à termes positifs. Si il existe un nombre positifs $M<1$ et si il existe un entier naturel $N$ tel que $(u_n)^{\frac{1}{n}}\le M$ pour tout $n\ge N$, alors la serie $\sum_n u_n$ converge. De plus, cette serie diverge si $(u_n)^{\frac{1}{n}}>1$ pour un certain rang.
- En particulier la série est convergente si \begin{align*}\limsup_{n\to\infty} (u_n)^{\frac{1}{n}}<1\quad \text{ou}\quad \lim_{n\to\infty}(u_n)^{\frac{1}{n}}<1.\end{align*}
Nous pouvons également énoncer la règle de Cauchy pour les séries avec des termes quelconques. En effet la série est absolument convergente si \begin{align*}\limsup_{n\to\infty} |u_n|^{\frac{1}{n}}<1\quad\text{ou}\quad \lim_{n\to\infty}|u_n|^{\frac{1}{n}}<1.\end{align*}. Voici la version complète du théorème pour des séries générales (pas forcément positives ou réelles):
- On se donne une suites $(u_n)_n$ de nombres reel ou complexe telle que $$ \lim_{n\to +\infty} |u_n|^{\frac{1}{n}}=L.$$ Alors on a les cas suivants
- Si $L<1$, alors la série $\sum_{n} u_u$ est absolument convergente.
- Si $L>1$, alors la série $\sum_{n} u_u$ est divergente.
- Si $L=1$, alors on peut rien dire (il faut chercher une autre méthode).
Quelle règle est la plus forte, de Cauchy ou d’Alembert ?
On rappelle que si $u(u_n)$ est une suite dont les termes sont non nuls a partir d’un certain rang et si $\lim_{n\to\infty} \left(|u_{n+1}|/|u_n|\right)<1,$ alors la série de terme général $u_n$ converge absolument. De plus la série diverge grossièrement si $\liminf_{n\to\infty}\left(|u_{n+1}|/|u_n|\right)>1$.
Il n’est pas difficile de voir que \begin{align*}\liminf_{n\to\infty}\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}\le \limsup_{n\to\infty} |u_n|^{\frac{1}{n}}\le \limsup_{n\to\infty}\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}.\end{align*}
De cette double inégalité on voit clairement que si le critère de d’Alembert fonctionne bien, alors la règle de Cauchy fonctionne aussi. Mais parfois, la règle de d’Alembert peut ne pas fonctionner et la règle de Cauchy fonctionne bien.
Critère de Cauchy exemple
Voici des exercice qui montre l’utilisation de la règle de Cauchy pour les séries.
Exercice 1: Étudier la nature des séries de termes généraux \begin{align*} u_n=\frac{1}{\left(\ln(n)\right)^{\ln(n)}},\quad v_n=\frac{2^n}{n^2}(\sin(\alpha))^{2n}.\end{align*}
$\bullet$ Pour la suite $(u_n),$ on a \begin{align*} (u_n)^\frac{1}{n}=\frac{1}{\ln(n)}\to 0,\end{align*}quand $n\to \infty$. Donc la regle de Cauchy assure que la series $\sum_{n}u_n$ est convergente.
$\bullet$ Pour la serie definie par $v_n,$ nous allons discuter la convergence selon les valeurs de $\alpha$. On a \begin{align*} (v_n)^\frac{1}{n}= \frac{2\sin^2(\alpha)}{n^{\frac{2}{n}}}.\end{align*} Noter que $n^{\frac{2}{n}}=e^{\frac{2}{n}\ln(n)}\to 1$ quand $n\to\infty$. Par suite \begin{align*} \lim_{n\to\infty}(v_n)^\frac{1}{n}=2\sin^2(\alpha).\end{align*} Si $2\sin^2(\alpha)<1$ (ce qui équivaut $-\frac{\sqrt{2}}{2}< \sin(\alpha)<\frac{\sqrt{2}}{2}$ ou encore $\alpha\in \cup_{k\in\mathbb{Z}}(]-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{\pi}{4}+2k\pi[\cup ]\frac{3\pi}{4}+2k\pi,\frac{5\pi}{4}+2k\pi[)$), alors la série est convergente. Maintenant si $2\sin^2(\alpha)>0$ (i.e. $\alpha\in \cup_{k\in\mathbb{Z}}(]\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi[\cup ]\frac{5\pi}{4}+2k\pi,\frac{7\pi}{4}+2k\pi[)$), alors la série est divergente. Finalement si $2\sin^2(\alpha)=1$, alors clairement on ne peut pas conclure avec la règle de Cauchy. Mais si en remplace $\sin^2(\alpha)$ par $\frac{1}{2}$ dans $v_n$ on a \begin{align*} v_n=\frac{1}{n^2}.\end{align*} C’est le terme général d’une série de Riemann convergente.
