La règle de Cauchy pour les séries est un grand succès pour la convergence d’une importante classe de séries. Elle est plus fine que la règle de d’Alembert en ce sens que si la règle de d’Alembert fonctionne, celle de Cauchy fonctionne aussi. Alors découvrons cette règle ensemble et donnons quelques applications de la règle.
Résumé sur la règle de Cauchy pour les séries
Théorème (pour le séries à termes positifs): Soit $(u_n)_n$ une suite à termes positifs. Si il existe un nombre positifs $M<1$ et si il existe un entier naturel $N$ tel que $(u_n)^{\frac{1}{n}}\le M$ pour tout $n\ge N$, alors la serie $\sum_n u_n$ converge. De plus la cette serie diverge si $(u_n)^{\frac{1}{n}}>1$ pour un certain rang.
En particulier la série est convergente si \begin{align*}\limsup_{n\to\infty} (u_n)^{\frac{1}{n}}<1\text{ou}\quad \lim_{n\to\infty}(u_n)^{\frac{1}{n}}<1.\end{align*}
Nous pouvons également énoncer la règle de Cauchy pour les séries avec des termes quelconques. En effet la série est absolument convergente si \begin{align*}\limsup_{n\to\infty} |u_n|^{\frac{1}{n}}<1\text{ou}\quad \lim_{n\to\infty}|u_n|^{\frac{1}{n}}<1.\end{align*}
Quelle règle est la plus forte, de Cauchy ou d’Alembert ?
On rappelle que si $u(u_n)$ est une suite dont les termes sont non nuls a partir d’un certain rang et si $\lim_{n\to\infty} \left(|u_{n+1}|/|u_n|\right)<1,$ alors la série de terme général $u_n$ converge absolument. De plus la série diverge grossièrement si $\liminf_{n\to\infty}\left(|u_{n+1}|/|u_n|\right)>1$.
Il n’est pas difficile de voir que \begin{align*}\liminf_{n\to\infty}\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}\le \limsup_{n\to\infty} |u_n|^{\frac{1}{n}}\le \limsup_{n\to\infty}\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}.\end{align*}
De cette double inégalité on voit clairement que si le critère de d’Alembert fonctionne bien, alors la règle de Cauchy fonctionne aussi. Mais parfois, la règle de d’Alembert peut ne pas fonctionner et la règle de Cauchy fonctionne bien.
Quelques exercices d’application
Exercice: Étudier la nature des séries de termes généraux \begin{align*} u_n=\frac{1}{\left(\ln(n)\right)^{\ln(n)}},\quad v_n=\frac{2^n}{n^2}(\sin(\alpha))^{2n}.\end{align*}
Solution: Pour la suite $(u_n),$ on a \begin{align*} (u_n)^\frac{1}{n}=\frac{1}{\ln(n)}\to 0,\end{align*}quand $n\to \infty$. Donc la regle de Cauchy assure que la series $\sum_{n}u_n$ est convergente.
Pour la serie definie par $v_n,$ nous allons discuter la convergence selon les valeurs de $\alpha$. On a \begin{align*} (v_n)^\frac{1}{n}= \frac{2\sin^2(\alpha)}{n^{\frac{2}{n}}}.\end{align*} Noter que $n^{\frac{2}{n}}=e^{\frac{2}{n}\ln(n)}\to 1$ quand $n\to\infty$. Par suite \begin{align*} \lim_{n\to\infty}(v_n)^\frac{1}{n}=2\sin^2(\alpha).\end{align*} Si $2\sin^2(\alpha)<1$ (ce qui équivaut $-\frac{\sqrt{2}}{2}< \sin(\alpha)<\frac{\sqrt{2}}{2}$ ou encore $\alpha\in \cup_{k\in\mathbb{Z}}(]-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{\pi}{4}+2k\pi[\cup ]\frac{3\pi}{4}+2k\pi,\frac{5\pi}{4}+2k\pi[)$), alors la série est convergente. Maintenant si $2\sin^2(\alpha)>0$ (i.e. $\alpha\in \cup_{k\in\mathbb{Z}}(]\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{3\pi}{4}+2k\pi[\cup ]\frac{5\pi}{4}+2k\pi,\frac{7\pi}{4}+2k\pi[)$), alors la série est divergente. Finalement si $2\sin^2(\alpha)=1$, alors clairement on ne peut pas conclure avec la règle de Cauchy. Mais si en remplace $\sin^2(\alpha)$ par $\frac{1}{2}$ dans $v_n$ on a \begin{align*} v_n=\frac{1}{n^2}.\end{align*} C’est le terme général d’une série de Riemann convergente.
