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Convergence des variables aléatoires: exercices

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Nous donnons un résumé du cours ainsi que des exercices corrigés sur la convergence des variables aléatoires. En effet, on traite principalement de convergence en probabilité et de convergence en loi. De plus, nous verrons les relations entre ces modes de convergence. Ce cours est très utile pour les candidats à l’agrégation de mathématiques et aussi pour les étudiants de l’Université.

Résumé sur la convergence des variables aléatoires

Les variables aléatoires sont un cas particulier des fonctions mesurables. Pour fixer les idées, on se donne $(X_n)_n$ une suite de variables aléatoires sur une espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. De plus, soit $X$ une autre variable aléatoire sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$.

L’espérance d’une variable aleatoire $Z$ sur $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$, est \begin{align*}\mathbb{E}(Z)=\int_\Omega Zd\mathbb{P}.\end{align*} La fonction de répartition de $Z$ est une fonction $F_Z:\mathbb{R}\to [0,1]$ tel que $F_Z(x)=\mathbb{P}(Z\le x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.

On definit la convergence des variables aléatoires comme suit:

  • La suite $(X_n)_n$ converge presque sûrement vers $X$ si $X_n(\omega)\to X(\omega)$ quand $n\to\infty$ pour presque tout $\omega\in\Omega$. Dans ce cas, on écrit $X_n\overset{{\rm p.s}}{\longrightarrow} X$.
  • $(X_n)_n$ converge en probabilité vers $X$ si pour tout $\varepsilon>0,$ \begin{align*} \lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(|X_n-X|>\varepsilon)=0.\end{align*}
  • On dit que la suite $(X_n)_n$ converge en moyenne d’ordre $p>0$ vers $X$ si \begin{align*}\lim_{n\to+\infty}\mathbb{E}(|X_n-X|^p)=0.\end{align*}
  • $(X_n)$ converge en loi vers $X$ si $F_{X_n}(x)\to F_X(x)$ quand $n\to\infty$, pour tout $x$ point dans lequel $F_X$ est continu.

On aussi le schéma de convergence \begin{align*}& \text{ CV en moyenne} \Longrightarrow \text{ CV en Proba} \Longrightarrow \text{ CV en loi}\cr & \text{CV p.s }\Longrightarrow \text{CV en Proba}\end{align*}

Exercices sur le mode de convergence

Exercice: Soient $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé et $(X_n)_n$ une suite de variable aléatoires qui converge en probabilité vers la variable aléatoire $X$. Soit $f$ une fonction uniformément continue sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f(X_n)$ converge en probabilité vers $f(X)$.

Solution: Soit $\varepsilon>0$. Le fait que $f$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$ implique l’existence d’un reel $\alpha>0$ tel que pour tout $x,y\in \mathbb{R}$ \begin{align*}\tag{$\ast$} |x-y|\le \alpha \Longrightarrow |f(x)-f(y)|\le \varepsilon.\end{align*} D’autre part, puique $X_n$ converge en probabilite vers $X,$ alors ,\begin{align*} \lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(|X_n-X|>\alpha)=0.\end{align*} Notez que par ($\ast$) on a \begin{align*} \left\{\omega: |f(X_n(\omega))-f(X(\omega))|>\varepsilon\right\}\subset\left\{\omega: |X_n(\omega)-X(\omega)|>\alpha\right\}.\end{align*} Cela implique \begin{align*}\mathbb{P}(|f(X_n)-f(X)|>\varepsilon)\le \mathbb{P}(|X_n-X|>\alpha).\end{align*} Ainsi \begin{align*}\lim_{n\to\infty}\mathbb{P}(|f(X_n)-f(X)|>\varepsilon)=0.\end{align*} Ce qu’il fallait démontrer.

Dans l’exercice qui suit nous allons voir que la convergence presque sûre n’implique pas la convergence en moyenne d’ordre quelconque et donc, la convergence en probabilité.

Exercice: On considère dans un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ une variable aléatoire uniformément $U$ répartie sur l’intervalle $[0,1]$. On pose \begin{align*} X_n=e^n 1_{[0,\frac{1}{n}]}(U),\quad n\in\mathbb{N}^\ast.\end{align*} Montrer que $(X_n)_n$ converge presque sûrement vers la variable $0$ et ne converge pas en moyenne d’order $p\ge 1$.

Solution: On pose $N$ l’ensemble des $\omega\in \Omega$ tel que $U(\Omega)$ presque surement. Puisque $U$ suit une loi uniforme sur $[0,1],$ alors $\mathbb{P}(U=0)=\mathbb{P}(N)=0$. Pour tout $\omega\in \Omega\setminus N$ et tout entier $n\ge \frac{1}{U(\omega)}$ on a $X_n(\omega)=0,$ et donc $X_n(\omega)\to 0$ quand $n\to\infty$. Cela implique que $X_n$ converge surement vers $0$. D’autre part, par definition de $X_n,$ chaque $X_n$ prend ses valeurs dans $\{0,e^n\},$ donc c’est une variable aléatoire discrète. Par suite $\mathbb{E}(X_n^p)=\mathbb{P}(X_n=e^n)e^{np}$ pour tout entier naturel $p\ge 1$. Mais $(X_n=e^n)=(U\le \frac{1}{n}),$ et donc $\mathbb{P}(X_n=e^n)=\mathbb{P}(U\le \frac{1}{n})=\frac{1}{n}.$ Cela donne $\mathbb{E}(X_n^p)=\frac{e^{np}}{n}\to +\infty$ quand $n\to +\infty$. Ainsi $X_n$ ne converge pas en moyenne d’ordre $p\in\mathbb{N}^\ast$ vers $0$. Conclusion la converge presque sur n’implique pas, en général, la convergence en moyenne et donc la convergence en probabilité.

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