/

Théorème de Fubini

6 mins read
theoreme-fubini

En calcul intégral, le théorème de Fubini et le théorème de Tonelli sont des résultats utilisés pour intégrer des fonctions à plusieurs variables ou pour intégrer une intégrale qui dépend d’un paramètre.

Théorème de Fubini: intégrales sur un pavé compact

Théorème (Fubini): Soient $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ tel que $a<b$ et $c<d$ et $f:[a,b]\times [c,d]\to\mathbb{C}$ une fonction continue sur $[a,b]\times [c,d]$. Alors \begin{align*} \int^b_a \left(\int^d_c f(x,y)dy\right)dx=\int^d_c \left(\int^b_a f(x,y)dx\right)dy.\end{align*}

Voici une application du ce théorème pour calculer l’intégrale de Gauss.

Exercice: En utilisant le théorème de Fubini, montrer que \begin{align*}\int^{+\infty}_0 e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.\end{align*}

Solution: Soit $a>0$ et posons \begin{align*} &\overline{D}(0,a):=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2\le a^2\}\cr & P_a:=[-a,a]\times [-a,a],\cr & I_a=\int\int_{P_a}e^{-(x^2+y^2)}dxdy\cr & J_a=\int\int_{\overline{D}(0,a)}e^{-(x^2+y^2)}dxdy.\end{align*} Par théorème de Fubini on a \begin{align*} I_a= \int^a_{-a} \left(\int^a_{-a}e^{-y^2}dy\right) e^{-x^2}dx= \left(\int^a_{-a}e^{-x^2}dx\right)^2.\end{align*} D’autre part, comme $\overline{D}(0,a)\subset P_a\subset \overline{D}(0,\sqrt{2}\;a)$, alors par la croissance de l’intégrale pour les fonctions positives, on a \begin{align*}\tag{$\ast$} J_a\le \left(\int^a_{-a}e^{-x^2}dx\right)^2\le J_{\sqrt{2}\;a}.\end{align*}En utilisant les coordonnées polaires et en appliquant le théorème de Fubin on trouve \begin{align*}J_a=\int^a_0 \int^{2\pi}_0 re^{-r^2}drd\theta&= \left(\int^a_0re^{-r^2}dr\right)\left(\int^{2\pi}_0 d\theta\right)\cr &=\pi \left(1-e^{-a^2}\right).\end{align*} Maintenant la relation ($\ast$) devienne \begin{align*} \pi \left(1-e^{-a^2}\right)\le \left(\int^a_{-a}e^{-x^2}dx\right)^2\le \pi \left(1-e^{-2a^2}\right).\end{align*} En faisant tendre $a$ vers $+\infty,$ on trouve \begin{align*} \int^{+\infty}_{-\infty} e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}.\end{align*} Ainsi le résultat découle du fait que \begin{align*} \int^{+\infty}_{-\infty} e^{-x^2}dx=2\int^{+\infty}_0 e^{-t^2}dt.\end{align*}

Intégrale double sur les espaces mesurés $\sigma$-finis

On se donne deux espaces mesures $\sigma$-fini $(E_1,\mathscr{B}_1,\mu_1)$ et $(E_2,\mathscr{B}_2,\mu_2)$.

Theoreme (Tonelli): Soit $f:E_1\times E_2\to [0,+\infty[$ une fonction mesurable. Alors

  • pour tout $x\in E_1,$ $y\mapsto f(x,y)$ est $\mathscr{B}_2$-mesurable, et $x\mapsto \displaystyle\int_{E_2}f(x,y)d\mu_2(y)$ est $\mathscr{B}_1$-mesurable.
  • pour tout $y\in E_2,$ $x\mapsto f(x,y)$ est $\mathscr{B}_1$-mesurable, et $y\mapsto \displaystyle\int_{E_1}f(x,y)d\mu_1(x)$ est $\mathscr{B}_2$-mesurable.

De plus on a \begin{align*} \int_{E_1\times E_2}f(x,y)d(\mu_1\otimes\mu_2)(x,y)&=\int_{E_1}\left(\int_{E_2}f(x,y)d\mu_2(y)\right)d\mu_1(x)\cr &=\int_{E_2}\left(\int_{E_1}f(x,y)d\mu_1(y)\right)d\mu_2(x),\end{align*} avec $\mu_1\otimes \mu_2$ est la mesure produit.

Théorème (Fubini): Soit $f\in L^1(E_1\times E_2)$ (une fonction intégrable sur $E_1\times E_2)$. Alors

  • la fonction $x\mapsto \displaystyle\int_{E_2}f(x,y)d\mu_2(y)$ est définie pour presque tout $x$ et \begin{align*} \left(x\mapsto \displaystyle\int_{E_2}f(x,y)d\mu_2(y)\right)\in L^1(E_1,\mu_1).\end{align*}
  • la fonction $y\mapsto \displaystyle\int_{E_2}f(x,y)d\mu_1(y)$ est définie pour presque tout $y$ et \begin{align*} \left(y\mapsto \displaystyle\int_{E_1}f(x,y)d\mu_1(y)\right)\in L^1(E_2,\mu_2).\end{align*}

De plus on a \begin{align*} \int_{E_1\times E_2}f(x,y)d(\mu_1\otimes\mu_2)(x,y)&=\int_{E_1}\left(\int_{E_2}f(x,y)d\mu_2(y)\right)d\mu_1(x)\cr &=\int_{E_2}\left(\int_{E_1}f(x,y)d\mu_1(y)\right)d\mu_2(x),\end{align*} avec $\mu_1\otimes \mu_2$ est la mesure produit.

Laisser un commentaire

Your email address will not be published.

Latest from Blog

Loi Gamma

L’une des lois les plus pratiques est la loi gamma. Il est utilisé pour surveiller la