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Théorème de Fubini

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En calcul intégral, le théorème de Fubini et le théorème de Tonelli sont des résultats utilisés pour intégrer des fonctions à plusieurs variables ou pour intégrer une intégrale qui dépend d’un paramètre.

Théorème de Fubini: intégrales sur un pavé compact

Théorème (Fubini): Soient $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ tel que $a<b$ et $c<d$ et $f:[a,b]\times [c,d]\to\mathbb{C}$ une fonction continue sur $[a,b]\times [c,d]$. Alors \begin{align*} \int^b_a \left(\int^d_c f(x,y)dy\right)dx=\int^d_c \left(\int^b_a f(x,y)dx\right)dy.\end{align*}

Voici une application du ce théorème pour calculer l’intégrale de Gauss.

Exercice: En utilisant le théorème de Fubini, montrer que \begin{align*}\int^{+\infty}_0 e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.\end{align*}

Solution: Soit $a>0$ et posons \begin{align*} &\overline{D}(0,a):=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2\le a^2\}\cr & P_a:=[-a,a]\times [-a,a],\cr & I_a=\int\int_{P_a}e^{-(x^2+y^2)}dxdy\cr & J_a=\int\int_{\overline{D}(0,a)}e^{-(x^2+y^2)}dxdy.\end{align*} Par théorème de Fubini on a \begin{align*} I_a= \int^a_{-a} \left(\int^a_{-a}e^{-y^2}dy\right) e^{-x^2}dx= \left(\int^a_{-a}e^{-x^2}dx\right)^2.\end{align*} D’autre part, comme $\overline{D}(0,a)\subset P_a\subset \overline{D}(0,\sqrt{2}\;a)$, alors par la croissance de l’intégrale pour les fonctions positives, on a \begin{align*}\tag{$\ast$} J_a\le \left(\int^a_{-a}e^{-x^2}dx\right)^2\le J_{\sqrt{2}\;a}.\end{align*}En utilisant les coordonnées polaires et en appliquant le théorème de Fubin on trouve \begin{align*}J_a=\int^a_0 \int^{2\pi}_0 re^{-r^2}drd\theta&= \left(\int^a_0re^{-r^2}dr\right)\left(\int^{2\pi}_0 d\theta\right)\cr &=\pi \left(1-e^{-a^2}\right).\end{align*} Maintenant la relation ($\ast$) devienne \begin{align*} \pi \left(1-e^{-a^2}\right)\le \left(\int^a_{-a}e^{-x^2}dx\right)^2\le \pi \left(1-e^{-2a^2}\right).\end{align*} En faisant tendre $a$ vers $+\infty,$ on trouve \begin{align*} \int^{+\infty}_{-\infty} e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}.\end{align*} Ainsi le résultat découle du fait que \begin{align*} \int^{+\infty}_{-\infty} e^{-x^2}dx=2\int^{+\infty}_0 e^{-t^2}dt.\end{align*}

Intégrale double sur les espaces mesurés $\sigma$-finis

On se donne deux espaces mesures $\sigma$-fini $(E_1,\mathscr{B}_1,\mu_1)$ et $(E_2,\mathscr{B}_2,\mu_2)$.

Theoreme (Tonelli): Soit $f:E_1\times E_2\to [0,+\infty[$ une fonction mesurable. Alors

  • pour tout $x\in E_1,$ $y\mapsto f(x,y)$ est $\mathscr{B}_2$-mesurable, et $x\mapsto \displaystyle\int_{E_2}f(x,y)d\mu_2(y)$ est $\mathscr{B}_1$-mesurable.
  • pour tout $y\in E_2,$ $x\mapsto f(x,y)$ est $\mathscr{B}_1$-mesurable, et $y\mapsto \displaystyle\int_{E_1}f(x,y)d\mu_1(x)$ est $\mathscr{B}_2$-mesurable.

De plus on a \begin{align*} \int_{E_1\times E_2}f(x,y)d(\mu_1\otimes\mu_2)(x,y)&=\int_{E_1}\left(\int_{E_2}f(x,y)d\mu_2(y)\right)d\mu_1(x)\cr &=\int_{E_2}\left(\int_{E_1}f(x,y)d\mu_1(y)\right)d\mu_2(x),\end{align*} avec $\mu_1\otimes \mu_2$ est la mesure produit.

Théorème (Fubini): Soit $f\in L^1(E_1\times E_2)$ (une fonction intégrable sur $E_1\times E_2)$. Alors

  • la fonction $x\mapsto \displaystyle\int_{E_2}f(x,y)d\mu_2(y)$ est définie pour presque tout $x$ et \begin{align*} \left(x\mapsto \displaystyle\int_{E_2}f(x,y)d\mu_2(y)\right)\in L^1(E_1,\mu_1).\end{align*}
  • la fonction $y\mapsto \displaystyle\int_{E_2}f(x,y)d\mu_1(y)$ est définie pour presque tout $y$ et \begin{align*} \left(y\mapsto \displaystyle\int_{E_1}f(x,y)d\mu_1(y)\right)\in L^1(E_2,\mu_2).\end{align*}

De plus on a \begin{align*} \int_{E_1\times E_2}f(x,y)d(\mu_1\otimes\mu_2)(x,y)&=\int_{E_1}\left(\int_{E_2}f(x,y)d\mu_2(y)\right)d\mu_1(x)\cr &=\int_{E_2}\left(\int_{E_1}f(x,y)d\mu_1(y)\right)d\mu_2(x),\end{align*} avec $\mu_1\otimes \mu_2$ est la mesure produit.

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