Le test de comparaison série-intégrale est un outil puissant pour étudier la convergence ou la divergence des séries numériques. Il permet de relier le comportement d’une série à celui d’une intégrale associée, simplifiant ainsi l’analyse des séries infinies. Cependant, il est essentiel de choisir judicieusement la fonction f(x) pour que le test soit applicable.
Énoncé du test de comparaison série-intégrale
Dans toutes la suite $f:[0,+\infty[\to\mathbb{R}$ est une fonction continue (on peut aussi supposer tout simplement le cas de continuité par morceaux). Cette fonction est dite monotone s’elle est ou bien croissante ou bien décroissante. Sans perdre de généralité on peut suppose que la fonction $f$ est décroissante. Dans ce cas, pour tout $n\ge 1$, on a $$ \int^{n+1}_{n} f(t)dt\le f(n)\le \int^n_{n-1}f(t)dt.$$ Par sommation on au aussi
- $$ \int^N_0 f(t)dt\le S_N\le u_0+\int^N_0 f(t)dt,$$ avec $$ S_N:= \sum_{n=0}^N f(n).$$
Cela donne l’encadrement de la suite des sommes partielles $(S_n)_n$ associée a la série $\sum_{n=0}^{+\infty} f(n)$. Cela nous donne une idée initiale sur la relation entre la convergence de cette série et la convergence de l’intégrale de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0,+\infty[$. On a alors le théorème suivant:
Si $f:[0,+\infty[\to\mathbb{R}$ est fonction continue, positive, et monotone sur $[0,+\infty[$, alors la série $\sum_{n=0}^\infty f(n)$ et l’intégrale $\int^{+\infty}_0 f(t)dt$ ont même nature.
$\bullet$ On suppose que $f$ est intégrable sur $[0,+\infty[$ (i.e. l’intégrale de $f$ sur $[0,+\infty[$ converge). Comme $f\ge 0$, alors on a une série a termes positifs. Ainsi pour démontrer sa convergence, il suffit de vérifier que la suite $(S_N)_N$ est majorée. D’après l’encadrement de $S_N$ (voir en haut), on a $$ \forall N,\qquad S_N\le u_0+\int^{+\infty}_0 f(t)dt\in \mathbb{R}.$$ D’où le résultat.
$\bullet$ Inversement, on suppose que la série converge. En particulier, la suite $(S_N)_N$ est majorée par une constante $M\ge 0$. D’autre part, comme $f$ est décroissante, alors pour tout $t\in [n,n+1]$ on a $f(n+1)\le f(t)\le f(n)$. On passe a l’intégrale, puis la somme sur cette double inégalité, on trouve $$ S_N-f(0)\le \int^N_0 f(t)dt\le S_{N-1}.$$ Si $x\in\mathbb{R}^+$ et si $E(x)$ est la partie entière de $x$, alors comme $E(x)\le x\le E(x)+1$, on a $$ \int^{E(x)}_0 f(t)dt\le \int^x_0 f(t)dt\le \int^{E(x)+1}_0 f(t)dt.$$ Ainsi on a pour tout $x\ge 0,$ $$ -f(0)\le S_{E(x)}-f(0)\le \int^x_0 f(t)dt\le S_{E(x)}\le M.$$ Donc on trouve une limite finie de l’intégrale.
Exemple: La série harmonique $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}$ est divergente. En effet, la fonction $f:[1,+\infty[\to\mathbb{R}$ définie par $f(x)=\frac{1}{x}.$ Cette fonction est continue, positive et décroissante sur $[0,+\infty[$. Donc on peut appliquer le test de comparaison série-intégrale. Comme $$ \int^{+\infty}_1 f(x)dx=\left[\ln(x)\right]^{x\to+\infty}_{x=1}=+\infty,$$ alors la série harmonique est divergente.
Ce test s’applique d’une façon générale sur la série de Riemann.
