Nous allons explorer en détail le critère d’Abel pour les séries numériques. En particulier ce critère nous permis de comprendre ses conditions et son utilisation dans l’analyse des séries numériques.
En mathématiques, l’étude des séries numériques occupe une place importante. La question fondamentale est de savoir si une série converge vers une valeur finie ou si elle diverge vers l’infini. Pour résoudre cette question, différents critères ont été développés. Le critère d’Abel, du nom du mathématicien norvégien Niels Henrik Abel, est l’un d’eux. Il permet de déterminer la convergence de certaines séries qui ne peuvent pas être résolues directement par les critères classiques.
Details sur le critère d’Abel pour les séries numériques
Le critère d’Abel permet de déterminer la convergence d’une série numérique de la forme: $ \sum_n a_n b_n$. Ici $(a_n)_n$ et $(b_n)_n$ sont deux suites. Voici le critère d’Abel pour les series numeriques:
Soient $(a_n)_n$ et $(b_n)_n$ sont deux suites de nombres complexes avec: \begin{align*} & \bullet\quad \exists M>0,\quad |\sum_{k=1}^n b_k|\le M,\quad\forall n\cr &\bullet\quad \sum_{n} |a_n-a_{n+1}|\quad \text{converge}\cr &\bullet\quad a_n\to 0,\quad n\to\infty.\end{align*} Alors la série $\sum_n a_n b_n$ est convergente.
Un corollaire pratique de ce résultat est le suivant:
Soient $(a_n)_n$ une suite réelle et $(b_n)_n$ une suite réelle ou complexe. On suppose que: \begin{align*} & \bullet\quad \exists M>0,\quad |\sum_{k=1}^n b_k|\le M,\quad \forall n\cr &\bullet\quad (a_n)_n\quad \text{décroissante}\cr &\bullet\quad a_n\to 0,\quad n\to\infty.\end{align*} Alors la série $\sum_n a_n b_n$ est convergente.
Applications du critère d’Abel
Exemple (Convergence de la série alternée): Soit $(a_n)_n$ une suite décroissante et $a_n\to 0$ quand $n\to+\infty$. Alors la serie $\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_n$ est convergente. En effet, il suffit de prendre $b_n=(-1)^n$. Si $n$ est paire, alors $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k=1$. Si $n$ est impaire, alors $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k=0$. Dans tous les cas, la suite $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k$ est bornée. Ainsi la série alternée est convergente par application du critère d’Abel.
Un exemple classique: Soit $(a_n)$ une suite décroissante. Alors pour tout $\theta\notin\{ 2k\pi:k\in\mathbb{N}\},$ la serie $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n e^{in\theta}$ est convergente. En effet, comme $e^{i\theta}\neq 1,$ alors \begin{align*} \left| \sum_{k=0}^n e^{ikn}\right|&=\frac{|1-e^{i(n+1)\theta}}{|1-e^{i\theta}|}\cr & \le \frac{1+|e^{i(n+1)\theta}|}{|1-e^{i\theta}|}\cr & \le \frac{2}{|1-e^{i\theta}|}.\end{align*} D’où le résultat
