Dans ce cours sur les séries entières et rayon de convergence , nous allons couvrir les bases des séries entières, leurs propriétés, leur convergence et leurs applications. Commençons !
Résumé du cours sur les séries entières
Une série entière est une série de fonctions particulière de la forme $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ avec $(a_n)_n$ est suite de nombres complexes et la variable $z\in\mathbb{C}$.
Convergence d’une série entière
La série entière converge en un point $z$ si la suite partielle des sommes converge lorsque $z$ tend vers l’infini. On utilise généralement le test de convergence de la série pour déterminer si la série converge ou diverge. Dans toute la suite, pour un réel $r>0$, on note par $$ D(0,r):=\{z\in \mathbb{C}:|z|<r\},$$ c’est le disque ouvert centré en $0$ et de rayon $r$.
- Lemme d’Abel: Si il existe $z_0\in \mathbb{C}$ tel que la suite $(a_n z_0^n)_n$ est bornée, alors la série entière $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ est convergente pour tout $z\in D(0,|z_0|)$.
En effet, par hypothèse il existe $M>0$ tel que $|a_n z_0^n|\le M$. Donc on a aussi $$ |a_nz^n|\le M \left(\frac{|z|}{|z_0|}\right)^n.$$ Ainsi $z\in D(0,|z_0|)$ alors la série géométrique de terme général $\left(\frac{|z|}{|z_0|}\right)^n$ est convergente. Donc notre série entière converge absolument, donc converge.
On se basons sur le lemme d’Abel, on peut donner la définition suivante:
- Rayon de convergence d’une série entière : Le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ est $$ R=\sup\{ \rho\ge 0: (a_n\rho^n)_n\;\text{est bornée}\}\in \mathbb{R}^+\cap\{+\infty\}.$$
Avec cette définition, nous obtenons le résultat suivant qui détermine le domaine de convergence de la série entière dans $\mathbb{C}$. Si on pose $$ I=\{ \rho\ge 0: (a_n\rho^n)_n\;\text{est bornée}\},$$ alors $I$ est un intervalle et que $I=[0,R[$ où $R$ est le rayon de la convergence de la série entière.
- Théorème: Si $R$ est le rayon de convergence de la série $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$, alors
- La série entière est absolument convergente si $|z| < R$. Dans ce cas on appelle $D(0,R)$ le disque de convergence de la série entière.
- La série entière est divergente si $|z|>R$.
- On ne peut pas décider, en général, si $|z|=R$.
- Pour tout $r\in ]0,R[$, la série converge normalement sur le disque fermé $\overline{D}(0,r)$.
Comment déterminer le rayon de convergence d’une série entière?
On a vue que le rayon de convergence d’une série entière est très important de déterminer son domaine de convergence. Ici dans ce paragraphe nous rappelons les méthodes essentielles pour déterminer ce rayon.
Utilisation de la définitions pour calculer le rayon de convergence
Ici il faut encadre la suite $(a_n z^n)$ ou trouver un équivalent de cette suite. En effet si $(a_n z^n)$ est bornée si et seulement si $|z|<R$, alors $R$ est le rayon de convergence de la série. On peut utiliser le résultat suivant (surtout dans le cas où la suite $(a_n)_n$ est oscillante.
- Théorème: Soient $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$ et $\sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n$ deux séries entières de rayons de convergence $R_a$ et $R_b$, respectivement. Alors
- Si pour tout $n$, $|a_n|\le |b_n|$, alors $R_a\ge R_b$.
- Si les suites $(a_n)_n$ et $(b_n)_n$ sont équivalentes, alors $R_a=R_b$.
Exemple: Déterminer le rayon de convergence de la série entières: $$ \sum_{n=1}^{+\infty} \sin(\frac{1}{n})\sim \frac{1}{n}.$$
Remarquons que $\sin(\frac{1}{n})\sim \frac{1}{n}$. Donc $$ | \sin(\frac{1}{n}) z^n|\sim \frac{|z|^n}{n}.$$ Par le critère de d’Alembert pour les séries numériques, la série $\sum_{n\ge 1} \frac{|z|^n}{n}$ est convergente si et seulement $|z|<1$. Ainsi la suite $(\sin(\frac{1}{n})\sim \frac{1}{n})_n$ est bornée si et seulement si $|z| < 1$. Donc le Rayon de convergence de notre série d’origine est $R=1$.
Règle de d’Alembert pour les séries entières
Une autre méthode plus efficace pour déterminer le rayon de convergence d’une série entière est les critère suivant:
- Règle de d’Alembert: Si $a_n\neq 0$ a partir d’un certain rang tel que $\frac{a_{n+1}}{a_n}\to L$ quand $n\to\infty$, alors le rayon de convergence de la série entière associée a $a_n$ est $R=\frac{1}{L}$, avec la convention $R=0$ si $L=+\infty$ et $R=+\infty$ si $L=0$.$$
Voici une application importante de la règle de d’Alembert pour les séries entières.
Etudier la convergence (simple), normale, et uniforme de la série entière: $$ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{n!}.$$
$\bullet$ La première chose a faire c’est de calculer le rayon de convergence de la série. En effet, si on pose $a_n=\frac{1}{n!}$, alors $a_n\ne 0$ pour tout $n,$ et on a $$ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{n+1}\to 0\; (n\to\infty).$$ Donc, d’après la Règle de d’Alembert, on a $R=+\infty$ est donc la série entière converge simplement sur tout $\mathbb{C}$.
$\bullet$ Soit une reel $A>0$. Alors pour tout $z\in \overline{D}(0,A)$ on a $ |\frac{z^n}{n!}|\le \frac{A^n}{n!}.$ Comme la série exponentielle réelle est convergente, alors notre série entière est normalement convergente sur to disque ferme borné $\overline{D}(0,A)$. Cependant la convergence de la série entière n’est pas uniforme sur les parties non bornée de $\mathbb{C}$. Il suffit de remarquer que sur $\mathbb{R}$, la fonction $e^x-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}$ n’est pas bornée.
