Dans cet article, nous explorerons les propriétés de la série de Bertrand, examinerons les conditions de convergence et de divergence, et aborderons certaines applications importantes de cette série.
Une série de Bertrand est une série numérique de la forme $$ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^p(\ln(n))^q},$$ où $p$ et $q$ sont deux nombres réels.
Convergence de la série de Bertrand
Une approche efficace pour analyser la convergence de la série de Bertrand consiste à appliquer le test de comparaison série-intégrale.
La série $$ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^p(\ln(n))^q}$$ est convergente si et seulement si $p>1$ ou ($p=1$ et $q>1$).
$\bullet$ Pour $p<1$ on a $$ \lim_{n\to+\infty} n u_n= n^{1-p}\ln(n)^{-q}=+\infty.$$ Ainsi il existe $N\in\mathbb{N}$ assez grand tel que $\frac{1}{n}\le u_n $. Comme la série harmonique de terme général $\frac{1}{n}$ est divergente, alors la série $\sum_{n\ge 0}u_n$ est divergente.
On pose $$ u_n:= \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^p(\ln(n))^q},\qquad n\ge 2.$$
$\bullet$ On suppose que $p>1$ et on fixe $r\in ]1,p[$. On a alors $n^r u_n=n^{r-p}\ln(n)^{-q}\to 0$ quand $n\to +\infty$, donc $u_n\le \frac{1}{n^r}$ for $n$ plus grand qu’un certain rang. Comme la serie de Riemann $\sum_n \frac{1}{n^r}$ converge (car $r>1$), alors la series $\sum_{n\ge 2} u_n$ est convergente.
De plus on divergence de la série Bertrand dans le cas où $p=1$ et $q\le 0$, car pour ces valeurs on a $\frac{1}{n}\le u_n$ a partir d’un certain rang assez grand.
Maintenant le dernier cas c’est le cas où $p=1$ et $q>1$. On considère alors la fonction $$ f:[1,+\infty[\to\mathbb{R},\quad f(x)=\frac{1}{x(\ln(x))^q}.$$ cette fonction est continue, positive et decroissante sur $[1,+\infty[$. Donc par comparaison serie et integrale, la serie $\sum_{n\ge 2} u_n$ est convergente si et seulement si l’intégrale suivante est convergente $$ \int^{+\infty}_2 \frac{1}{x(\ln(x))^q}.$$ Cette dernière est une intégrale de Bertrand qui est convergente. D’où le résultat.
Cette classe de séries trouve des applications importantes en mathématiques et en théorie des nombres. En utilisant les séries de Bertrand avec $\displaystyle p=1$, on peut montrer que le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $\displaystyle x$ est environ $\displaystyle \dfrac{x}{\ln x}$ lorsque $\displaystyle x$ est suffisamment grand. Cette approximation est connue sous le nom de formule de Tchebychev.
Application des series de Bertrand
Les séries de Bertrand sont utilisées pour analyser des phénomènes où certaines valeurs sont beaucoup plus fréquentes. En économie, elles modélisent les distributions de richesse. En mathématiques, elles se lient aux nombres premiers.
