Dans cet article, nous explorerons les bases de la série géométrique, sa formule générale, ces propriétés et son utilisation pratique. Les séries géométriques constituent un concept fondamental des mathématiques. Ce concept trouve des applications dans divers domaines, de l’ingénierie à l’économie en passant par les sciences naturelles.
Qu’est-ce qu’une série géométrique ?
La série géométrique est une série particulière dont le terme général est une puissance de la forme $a^n$ avec $a \in \mathbb{R}$ ou $a \in \mathbb{C}$, représentée par l’expression suivante : $$ \sum_{n=0}^{+\infty} a^n.$$
Sommes partielles associée aux séries géométriques
Une question naturelle se pose : est-ce que la série géométrique est convergente quel que soit le choix de $a$ ? Pour répondre à cette interrogation, calculons la suite des sommes partielles associée à cette série : \begin{align*} S_n=1+a+\cdots+a^n,\quad n\in\mathbb{N}.\end{align*} Voyons maintenant deux cas distincts :
Cas 1 : $a=1$. Dans ce cas, nous avons : $$S_n=1+1+1^2+\cdots+1^n=n+1.$$La suite $S_n$ est clairement divergente, ce qui implique que la série est divergente lorsque $a=1$.
Cas 2: $a \neq 1.$ Si $a \neq 1$, nous pouvons utiliser la formule de la somme des termes d’une suite géométrique finie : \begin{align*} S_n=\frac{1-a^{n+1}}{1-a},\quad n\in\mathbb{N}.\end{align*}
Convergence de la série géométrique
En utilisant la formule pour $S_n$, nous pouvons étudier la convergence de la série géométrique en fonction de la valeur de $a$.
Si $|a| < 1$, alors lorsque $n$ tend vers l’infini, $a^{n+1}$ tend vers 0, d’après le cours sur les suites géométriques. Dans ce cas, la suite $S_n$ tend vers : $$ S=\frac{1}{1-a},$$
qui est une valeur finie. Par conséquent, la série est convergente lorsque $|a| < 1$.
D’autre part, si $|a| \geq 1$, alors la suite $a^{n+1}$ ne converge pas vers 0 lorsque $n$ tend vers l’infini. Dans ce cas, la série est divergente.
Récapitulatif:
- La série géométrique est convergente lorsque $|a| < 1$, et sa somme est $$\sum_{n=0}^{+\infty} a^n= \frac{1}{1 – a}.$$
- La série géométrique est divergente lorsque $|a| \geq 1$.
Cette série particulière est souvent utiliser si on applique le critère de comparaison pour les séries numériques. Voici un exemple
Etudier la convergence de la série suivante $$ \sum_{n=0}^{+\infty} \arctan(e^{n^2})\sin(\frac{1}{2^n}).$$
Comme $|\arctan(x)|\le \frac{\pi}{2}$ et $|\sin(x)|\le |x|$ pour tout $x\in\mathbb{R}$, alors on a $$ \left| \arctan(e^{n^2})\sin(\frac{1}{2^n})\right|\le \frac{\pi}{2}\frac{1}{2^n}.$$ Comme la série géométrique de terme général $\frac{1}{2^n}$ est convergente, cela implique que notre série d’origine est également convergente, selon un critère de comparaison pour les séries numériques.
Applications pratiques :
Les séries géométriques convergentes trouvent des applications dans divers domaines scientifiques et techniques. En particulier, l’analyse des intérêts composés en finance; la modélisation de la propagation de signaux dans les télécommunications. Ils sont aussi important dansl’étude des phénomènes de décroissance radioactive en physique; et bien plus encore.
En conclusion, la convergence de la série géométrique dépend de la valeur absolue de $a$. Elle constitue un concept essentiel dans les mathématiques et possède des implications importantes dans divers domaines scientifiques et technologiques. La compréhension de la convergence des séries géométriques est essentielle pour résoudre des problèmes complexes; et modéliser efficacement un large éventail de phénomènes réels.
