Les variables aléatoires à densité forment une classe importante de variables aléatoire pour lesquelles il est facile de calculer la loi de probabilité et donc l’espérance, la variance et d’autres quantités mathématiques.
Les propriétés des variables aléatoires à densité
Dans toute la suite $(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})$ est un espace de probabilité et $X:\Omega\to\mathbb{R}$ une variable aléatoire de fonction de répartition $F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
Définition: $X$ est une variable aléatoire à densité si il existe une fonction $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continue par morceaux telle que pour tout $a,b\in\mathbb{R}$ avec $a<b$ on a $$ \mathbb{P}(a\le X\le b)=\int^b_a f(x)dx.$$ Cette fonction $f$ est appelée densité de la variable aléatoire $X$.
Le nom densité est justifier par le fait que une telle fonction elle vérifie les propriétés suivantes:
- $f$ est positive;
- $f$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ et $$ \int^{+\infty}_{-\infty}f(x)dx=1.$$
Densité de probabilité et fonction de répartition
Dans la suite on donne des propriétés importantes pour les variables aléatoires à densité. Il existe une relation entre la densité d’une variable aléatoire $X$ et sa fonctions de répartition $F_X$. En effet, dans ce cas $F_X$ est une fonction continue, i.e. $\mathbb{P}(X=a)=0$ pour tout $a$. Et d’après les propriétés des fonctions de répartitions on a: pour tout $a\le b$ \begin{align*} F_X(b)-F_X(a)&=\mathbb{P}(a<X\le b)\le \mathbb{P}(a\le X< b)=\mathbb{P}(a< X< b)\cr & =\int^b_a f(x)dx.\end{align*} En particulier en faisant tendre $a\to -\infty,$ on a $F_X(a)\to 0$ et $$ F_X(b)=\mathbb{P}(X\le b)=\int^b_{-\infty}f(x)dx.$$ Et en faisant tendre $b\to+\infty,$ on a $F_X(b)\to 1$ et donc \begin{align*} F_X(a)=1-\int^{+\infty}_a f(x)dx=\int^a_{-\infty}f(x)dx.\end{align*} Il faut aussi remarquer que $F_X$ est presque partout dérivable et \begin{align*} f(x)=\frac{d}{dx}F_X(x).\end{align*} En quelque sorte pour une variable aléatoire à densité $X,$ la fonction de répartition $F_X$ est la primitive de la fonction densité $f$. d’autre par si $\mathbb{P}_X$ est la loi la variable aléatoire $X,$ alors on a alors \begin{align*}d\mathbb{P}_X(x)=dF_X(x)=f(x)dx.\end{align*}Ainsi d’après le théorème de transfert, si $\psi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ est une fonction mesurable et $\int_{\mathbb{R}} |\psi(x)|f(x)dx<\infty,$ alors on a \begin{align*} \mathbb{E}(\psi(X))=\int^{+\infty}_{-\infty}\psi(x)d\mathbb{P}_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}\psi(x)f(x)dx.\end{align*} En particulier si on prend $\psi(x)=x$ et is $\int_{\mathbb{R}} |x|f(x)dx<\infty,$ alors l’espérance de la variable aléatoires $X$ est donné par \begin{align*} \mathbb{E}(X)=\int^{+\infty}_{-\infty}xf(x)dx.\end{align*}
