L’un des théorèmes clés en probabilité pour le calcul des moyennes des variables aléatoires est le théorème de transfert. En particulier ce théorème est très utile pour calculer la moyenne de l’image d’une variable aléatoire par une fonction mesurable.
Énoncé du théorème de transfert
Dans toute la suite on se place dans un espace de probabilité $(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{P})$. La loi d’une variable aléatoire $X$ sera toujours notée par $\mathbb{P}_X$.
Théorème (variables aléatoires réelles): Soit $X:\Omega\to\mathbb{R}$ une variable aléatoire réelle de loi $\mathbb{P}_X$. Si $\varphi:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^+$ est une application mesurable alors \begin{align*} \mathbb{E}(\varphi(X))=\int_\Omega \varphi(X(\omega))d\mathbb{P}(\omega)=\int^{+\infty}_{-\infty}\varphi(x)d\mathbb{P}_X(x).\end{align*}
Théorème (variables aléatoires discrètes): Soit $X:\Omega\to\mathbb{N}$ une variable aléatoire et $\varphi:X(\Omega)\to\mathbb{R}$ une application mesurable. Alors la variable aléatoire $\varphi(X)$ admet une espérance, si et seulement si, la série de terme général $\varphi(n)\mathbb{P}(X=n)$ est absolument convergente. Dans ce cas, on a \begin{align*} \mathbb{E}(\varphi(X))=\sum_{n=0}^\infty \varphi(n)\mathbb{P}(X=n).\end{align*}
Remarque: Le théorème de transfert nous dit que pour déterminer l’espérance de la variable aléatoire $\varphi(X)$, il est inutile de calculer la loi de $\varphi(X)$. Il suffit de connaître la loi de $X$.
