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Règle de d’Alembert pour les séries

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La règle de d’Alembert pour les séries est un critère très utile pour démontrer la convergence des séries. Cette règle est souvent utilisée pour les séries entières et les séries dont le terme général contient une factorielle. Dans cet article nous rappelons le critère de d’Alembert et nous donnons également quelques exercices corrigés pour se familiariser avec cette notion.

Généralités sur la règle de d’Alembert pour les séries

La convergence des séries est trop demander en analyse mathématique. Pour les séries à termes positifs, on peut trouver plusieurs critères de convergence, par exemple des critères de comparaison. Mais parfois, il y a des séries où il faut les traiter avec soin. En effet nous proposons ici un critère appelé règle de d’Alembert pour les séries qui peut nous donner facilement si une série converge ou diverge.

Théorème (règle de d’Alembert): Soit $(u_n)_n$ une suite réelle tel que $u_n>0$ pour tout $n$. On suppose que \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\ell.\end{align*} On a alors les assertions suivante:

  • si $\ell<1,$ la série de terme général $u_n$ est convergente;
  • si $\ell>1,$ la série de terme général $u_n$ est divergente;
  • si $\ell=1,$ nous ne pouvons pas conclure.

La règle de d’Alembert est utilisée pour déterminer le rayon de convergence de séries entières. On a le résultat suivant:

Théorème: Soit $(a_n)_n$ une suite dont tous les termes sont non nuls à partir d’un certain rang. De plus, nous supposons que \begin{align*} \lim_{n\to\infty} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\ell.\end{align*} Alors le rayon de convergence de la série entière $\sum_n a_n z^n$ est donné par $R=\frac{1}{\ell}$.

Exercices d’applications du critère de d’Alembert

Exercice: Etudier la nature de la série de terme général \begin{align*} u_n=\frac{n}{2^n},\quad v_n=\frac{1}{n!},\quad w_n=\frac{4^{n+1}((n+1)!)^2}{(2n-1)!}.\end{align*}

Solution: pour la serie de terme general $(u_n)_n,$ on a \begin{align*} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\times \frac{2^n}{n}= 2 \frac{n+1}{n}.\end{align*} On déduit donc \begin{align*}\lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=2>1.\end{align*} Par suite, le critère de d’Alembert implique que la series $\sum_n \frac{n}{2^n}$ est divergente. D’autre part, on a \begin{align*} \frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\to 0<1,\end{align*} quand $n\to+\infty$. Ainsi d’apres la règle de d’Alembert la série $\sum_n \frac{1}{n!}$ est convergente. Finalement, on a \begin{align*} \frac{w_{n+1}}{w_n}&=\frac{4^{n+2}((n+2)!)^2}{(2n+1)!}\times \frac{(2n-1)!}{4^{n+1}((n+1)!)^2}\cr &=4 \frac{(n+2)^2}{2n (2n-1)}\underset{n\infty}{\sim} 1.\end{align*} Donc on peut pas conclure directement via le critère de d’Alembert.

Exercice: Déterminer le rayon de convergence des séries entière suivantes: \begin{align*} \sum_n \frac{n^n}{n!}z^n,\quad \sum_{n\ge 1} \ln(n) z^n.\end{align*}

Solution: On pose $a_n=\frac{n^n}{n!}$. Maintenant on calcul de rapport suivant \begin{align*} \frac{a_{n+1}}{a_n}&=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\times \frac{n!}{n^n}\cr &= \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n.\end{align*} D’autre part, \begin{align*} \left( 1+\frac{1}{n}\right)^n&=e^{n\ln(1+\frac{1}{n})}\cr &= e^{n(\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n}))}=e^{1+o(1)}.\end{align*} Par suite \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=e.\end{align*} Donc le rayon de convergence de la série entière de $\sum_n \frac{n^n}{n!} z^n$ est $R=\frac{1}{e}$.

On pose $b_n=\ln(n)$. Un calcul simple montre que \begin{align*} \frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\ln(n+1)}{\ln(n)}=1+\frac{\ln(1+\frac{1}{n})} {\ln(n)}\to 1,\end{align*} quand $n\to\infty$. Ainsi le rayon de convergence de la série entière associé au coefficients $(b_n)_n$ et $R=1$.

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Une brève histoire de d’Alembert

D’Alembert est un mathématicien et philosophe français, né à Paris en 1717 et mort en 1783. Il fit une belle carrière à la faculté de droit, et il obtint une licence en droit. Mais la profession d’avocat n’attire pas d’Alembert, il décide alors de suivre des cours de médecine. Mais au bout d’un moment, il s’est tourné vers les mathématiques. Il devint plus tard l’un des plus grands maîtres des mathématiques.

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