Au cœur de la probabilité, la loi binomiale et la loi de Bernoulli se lient d’une manière profonde et fondamentale. Ces deux distributions sont intimement connectées, formant un duo puissant pour modéliser les phénomènes aléatoires discrets. Plongeons dans cette relation inaltérable entre la loi binomiale et la loi de Bernoulli.
La Loi de Bernoulli : La Base Fondamentale
La loi de Bernoulli est le bâtisseur de la loi binomiale. Elle est la plus simple de toutes les distributions de probabilité, incarnant un essai unique avec deux résultats possibles : succès (avec probabilité $p$) ou échec (avec probabilité $1-p$). Chaque essai est indépendant et identiquement distribué, créant un cadre pour explorer les bases de la probabilité.
La Loi Binomiale : Agrégation d’Essais Bernoulli
La loi binomiale, quant à elle, s’appuie sur la loi de Bernoulli pour s’épanouir. Elle émerge lorsqu’une série d’essais de Bernoulli est effectuée de manière répétée. Imaginez lancer une pièce de monnaie plusieurs fois. Chaque lancer est un essai de Bernoulli, mais en agrégeant ces essais, nous découvrons les nuances de la loi binomiale.
Le Lien Intime : Du Simple au Composé
La relation entre ces deux lois est capturée par la formule binomiale. Si nous avons $n$ essais de Bernoulli indépendants, où chaque essai a une probabilité $p$ de succès, alors la probabilité d’obtenir $k$ succès est donnée par $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$. Chaque terme $\binom{n}{k}$ compte le nombre de façons de choisir $k$ succès parmi $n$ essais, tout en incorporant les probabilités individuelles. Ici on rappelle que $$ \binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}.$$
Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ de paramètre $n\in \mathbb{N}$ et $p\in [0,1]$ si $X=X_1+\cdots+X_n$, où les $X_i$ sont des Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$.
Dans ce cas, la loi de $X$ est donne par \begin{align*} \mathbb{P}(X=k)= \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\quad k\in\{0,1,\cdots,n\}.\end{align*} L’espérance mathématiques de $X$ est alors $$\mathbb{E}(X)=\sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)=np,$$ tandis que la variance de $X$ est $$ V(X)=\sum_{i=1}^n V(X_i)=np(1-p).$$ Notez que dans $\mathbb{B}(n,p)$ le nombre $n$ représente le nombre d’exécutions de l’expérience et le nombre $p$ représente la probabilité d’un résultat spécifique.
Les lois binomiales doivent également respecter les trois critères suivants :
- Le nombre d’observations ou d’essais est fixé.
- Chaque observation ou essai est indépendant. En d’autres termes, aucun de vos essais n’a d’effet sur la probabilité du prochain essai.
- La probabilité de réussite est exactement la même d’un test à l’autre.
La Loi Binomiale trouve sa place dans le monde réel. Des lancers de pièces de monnaie aux tests de contrôle qualité, elle peint les tableaux probables des événements à venir. En sciences, elle éclaire les résultats des expériences biologiques et physiques, aidant à distiller le chaos en compréhension.
Relation avec la Loi Normale
La relation entre la loi binomiale et la loi normale est une liaison remarquable dans le domaine de la probabilité et des statistiques. Alors que la loi binomiale est utilisée pour modéliser des expériences avec un nombre fini d’essais indépendants et identiquement distribués, la loi normale (aussi connue sous le nom de loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss) est une distribution continue qui se manifeste dans de nombreux phénomènes naturels et aléatoires. L’intéressant est que, dans certaines conditions, la distribution binomiale peut être approximée par la distribution normale, ce qui facilite les calculs et les analyses dans des cas où le nombre d’essais est grand. Cette approximation est connue sous le nom de théorème de la limite centrale.
Le théorème de la limite centrale stipule que la somme (ou moyenne) d’un grand nombre d’observations indépendantes et identiquement distribuées suit approximativement une distribution normale, quelle que soit la forme de la distribution initiale. Ainsi, même si les observations individuelles suivent une loi binomiale, la somme de ces observations se rapproche d’une distribution normale lorsque le nombre d’observations est suffisamment grand. Cette relation est d’une importance considérable dans les analyses statistiques, car elle permet de traiter des problèmes complexes en utilisant les propriétés bien connues de la distribution normale. Cependant, il est important de noter que l’approximation normale s’améliore lorsque le nombre d’essais de la loi binomiale devient plus grand.
En somme, la relation entre la loi binomiale et la loi normale réside dans la capacité de la loi normale à émerger comme une approximation utile pour les distributions binomiales dans des situations où les conditions du théorème de la limite centrale sont remplies. Cela élargit l’application de la loi normale en tant qu’outil puissant dans l’analyse de données et la modélisation statistique.
Exercices corrigés sur la loi bibomiale
Exercice: Sachant que 80% des personnes qui souscrivent une assurance pour animaux de compagnie sont des femmes. Si 9 propriétaires d’assurance pour animaux de compagnie sont sélectionnés au hasard, calculez la probabilité qu’exactement 6 soient des femmes.
- Identifiez $n$ à partir du problème. D’après l’énoncé $n$ (le nombre d’éléments sélectionnés au hasard) est $n=9$.
- Identifiez $k$ à partir du problème. En effet, $k$ (le nombre dont on vous demande de trouver la probabilité) est $k=6$.
- Calcul du coefficient de Binôme: \begin{align*} C^k_n=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{9!}{3!6!}=84.\end{align*}
- Trouver $p$ et $q=1-p$ avec $p$ est la probabilité de succès et $q$ est la probabilité d’échec. On nous donne p = 80 %, soit $0,8$. La probabilité d’échec est donc de 1 – 0,8 = 0,2 (20 %).
- Enfin on remplace dans la formule de la loi binomiale on trouve probabilité qu’exactement 6 soient des femmes est $0.176$.
Un Duo Indispensable: loi binomiale et loi de Bernoulli
La relation entre la loi binomiale et la loi de Bernoulli nous offre une perspective éclairante sur la manière dont des essais répétés composent des résultats probables. Ensemble, elles forment un duo indissociable, capable de modéliser des expériences aléatoires répétées avec des résultats binaires. La loi de Bernoulli établit les fondations, tandis que la loi binomiale édifie les structures complexes de probabilités agrégées.
Bien que la loi binomiale soit construite sur la base de la loi de Bernoulli, elles ne sont pas interchangeables. La loi de Bernoulli est un cas particulier où $n=1$ dans la loi binomiale. Chaque essai de Bernoulli peut être considéré comme un cas individuel de la loi binomiale avec un seul essai.
Conclusion : Un Couple de Probabilité Puissant
La loi binomiale et la loi de Bernoulli, unies par une relation intime, sont des pierres angulaires de la probabilité discrète. Elles trouvent leur place dans une myriade d’applications, des statistiques à la biologie, en passant par la finance et l’économie. Comprendre comment ces deux distributions s’entrelacent ouvre la voie à une compréhension plus profonde des phénomènes aléatoires discrets qui façonnent notre monde.
