La loi binomiale est utilisée pour modéliser le nombre de succès lors de la répétition de tests de Bernoulli indépendants. En particulier, nous avons vu en première année que la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$ est une loi de paramètres $n$ et $p$.
Généralités sur la loi binomiale
Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ de paramètre $n\in \mathbb{N}$ et $p\in [0,1]$ si $X=X_1+\cdots+X_n$, où les $X_i$ sont des Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$. Dans ce cas, la loi de $X$ est donne par \begin{align*} \mathbb{P}(X=k)=C^k_n p^k(1-p)^{n-k},\quad k\in\{0,1,\cdots,n\}.\end{align*} Ici on rappelle que $$ C^k_n=\frac{n!}{(n-k)!k!}.$$ L’espérance mathématiques de $X$ est alors $$\mathbb{E}(X)=\sum_{i=1}^n \mathbb{E}(X_i)=np,$$ tandis que la variance de $X$ est $$ V(X)=\sum_{i=1}^n V(X_i)=np(1-p).$$ Notez que dans $\mathbb{B}(n,p)$ le nombre $n$ représente le nombre d’exécutions de l’expérience et le nombre $p$ représente la probabilité d’un résultat spécifique.
Les lois binomiales doivent également respecter les trois critères suivants :
- Le nombre d’observations ou d’essais est fixé.
- Chaque observation ou essai est indépendant. En d’autres termes, aucun de vos essais n’a d’effet sur la probabilité du prochain essai.
- La probabilité de réussite est exactement la même d’un test à l’autre.
Exemples d’applications dans la vie quotidienne
Exercice: Sachant que 80% des personnes qui souscrivent une assurance pour animaux de compagnie sont des femmes. Si 9 propriétaires d’assurance pour animaux de compagnie sont sélectionnés au hasard, calculez la probabilité qu’exactement 6 soient des femmes.
Solution: Voici la méthode:
- Etape 1: Identifiez $n$ à partir du problème. D’après l’énoncé $n$ (le nombre d’éléments sélectionnés au hasard) est $n=9$.
- Etape 2: Identifiez $k$ à partir du problème. En effet, $k$ (le nombre dont on vous demande de trouver la probabilité) est $k=6$.
- Etape 3: Calcul du coefficient de Binôme: \begin{align*} C^k_n=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{9!}{3!6!}=84.\end{align*}
- Etape 4: Trouver $p$ et $q=1-p$ avec $p$ est la probabilité de succès et $q$ est la probabilité d’échec. On nous donne p = 80 %, soit $0,8$. La probabilité d’échec est donc de 1 – 0,8 = 0,2 (20 %).
- Etape 5: Enfin on remplace dans la formule de la loi binomiale on trouve probabilité qu’exactement 6 soient des femmes est $0.176$.
