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Fonction caractéristique d’une variable aléatoire

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En théorie des probabilités, la fonction caractéristique d’une variable aléatoire permet de calculer plus simplement les moments de la variable; en utilisant simplement les dérivées successives de cette fonction au point $0$. La force des fonctions caractéristiques est que deux variables aléatoires ont la même loi si et seulement si leurs fonctions caractéristiques coïncident.

Définition de la fonction caractéristique d’une variable aléatoire

Toutes les variables aléatoires de cette page sont définies sur un espace probabilisée $(\Omega,\mathscr{A},\mathbb{B})$. De plus $i$ est le nombre complexe qui vérifie $i^2=-1$.

Définition: La fonction caractéristique d’une variable aléatoire est une fonction $\varphi_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ définie par $$\varphi_X(t)=\mathbb{E}(e^{itX})=\int_\Omega e^{itX(\omega)}d\mathbb{P}(\omega).$$

On peut aussi utiliser les fonctions trigonométriques pour définir la fonction caractéristique de $X$. On a alors $$\varphi_X(t)=\mathbb{E}(\cos(tX))+i\mathbb{E}(\sin(tX)).$$ En utilisant le théorème de transfert on a aussi $$\varphi_X(t)=\int_{\mathbb{R}} e^{itx}d\mathbb{P}_X(x),$$ où $\mathbb{P}_X$ est la loi de la variable aléatoire $X$. Si $X$ est une variable aléatoire à densité $f,$ alors $d\mathbb{P}_X(x)=f(x)dx,$ et donc $$\varphi_X(x)=\int_{\mathbb{R}}e^{itx}f(x)dx=\left(\mathscr{F}(f)\right)(t),$$ avec $\mathscr{F}$ est l’operateur transformation de Fourier.

Pour une variable aléatoire discrète $X:\Omega\to\mathbb{N},$ la fonction caractéristique est donnée par \begin{align*} \varphi_X(t)=\sum_{k=0}^\infty \mathbb{P}(X=k)e^{ikt}=G_X(e^{it}),\end{align*} où $G_X$ est la fonction génératrice de la variable aléatoire $X$.

Comment utiliser la fonction $\varphi_X$

$\spadesuit$ Pour montrer que deux variable aléatoire $X$ et $Y$ on même loi il suffit de montrer que $\varphi_X=\varphi_Y$ (dans le cas ou les variables $X$ et $Y$ ont des densité $f$ et $g$, alors par injectivité de la transformation de Fourier on a $f=g$).

$\spadesuit$ Si $(X_k)_{1\le k\le n}$ est une famille de variables aléatoires indépendantes alors on a $$\varphi_{X_1+\cdots+X_n}(t)=\prod_{k=1}^n \varphi_{X_k}(t).$$

Définition: Le moment d’ordre $k$ ($k\in\mathbb{N}^\ast$) d’une variable aléatoire $X,$ lorsqu’il existe est le nombre réel $\mathbb{E}(X^k)$.

On a le résultat important suivant entre la fonction caractéristique et les moments d’une variable aléatoire: Si le moment d’order $k$, $\mathbb{E}(X^k)$, existe alors $\varphi_X$ est $k$-fois dérivable et on a $$ \mathbb{E}(X^k)=\frac{\varphi^{(k)}_X(0)}{i^k}.$$ En particiiler pour $k=1$ et $k=2$ on a $$ \mathbb{E}(X)=-i\varphi’_X(0)\quad \text{et}\quad \mathbb{E}(X^2)=- \ddot{\varphi}_X(0).$$ Cela implique que la variance de la variable $X$ est donnée par: $$V(X)=- \ddot{\varphi}_X(0)+\left( \varphi’_X(0)\right)^2.$$

Exercices sur les fonctions caractéristiques

Exercices: Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes de densité $f$ et $g$ respectivement. Calculer la densité de la variable aléatoire somme $X+Y$.

Solution: Par le rappel vu au paragraphe précédent, pour tout $t\in\mathbb{R},$ nous avons \begin{align*} \varphi_{X+Y}(t)&=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)\cr &= \int^{+\infty}_{-\infty} e^{ixt}f(x)dx \; \int^{+\infty}_{-\infty} e^{iyt}g(y)dy\cr &=\int^{+\infty}_{-\infty} g(y)\left( \int^{+\infty}_{-\infty} e^{i(x+y)t}f(x)dx\right)dy\cr &=\int^{+\infty}_{-\infty} g(y)\left( \int^{+\infty}_{-\infty} e^{iut}f(u-y)dy\right)dy\cr &= \int^{+\infty}_{-\infty}e^{iut}\left(\int^{+\infty}_{-\infty}g(y)f(u-y)dy\right)du,\end{align*} grâce au théorème de Fubini. Ainsi la densite de la variable aleaoire $X+Y$ est \begin{align*} h(u)=\int^{+\infty}_{-\infty}g(y)f(u-y)dy.\end{align*}

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