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Développement d’une fonction en série entière

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Nous considérons une part importante dans l’analyse réelle et complexe, c’est le développement d’une fonction en série entière. En d’autres termes, la fonction coïncide avec la somme d’une série entière dans un voisinage ouvert d’un point. Bien sûr, pour que la fonction ait cette propriété, elle doit satisfaire certaines conditions. Il y a donc des fonctions qui ne peuvent pas être développées en séries entières.

Informations générales sur le développable en série entière

Généralités

Définitions: Une fonction $f$ est développable en série entière en $0$ s’il existe un disque ouvert $D(0,R)$ ($R>0$) et il existe une série entière $\sum_n a_n z^n$ tels que \begin{align*}f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n,\quad \forall z\in D(0,R).\end{align*} En utilisant cette définition, nous pouvons également définir le développement de $f$ en un point $z_0$. En fait, il suffit que la fonction $z\mapsto f(z+z_0)$ admette un développement en une série d’entiers en $0$.

Dans la suite (pour rester dans le cadre des classes préparatoires) on considère juste les fonctions réelles. Si on suppose qu’une fonction réelle satisfait $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x_n$ pour tout $x\in ]-R,R[$ ($R$ est le rayon de convergence de la série entière), alors $f$ est de classe $C^\infty(]-R,R[)$ et on en déduit (après dérivations $n$ fois et remplacement de $x$ par $0$) $a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$. Donc on a en fait \begin{align*} f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n,\quad \forall x\in ]-R,R[.\end{align*} Donc $f$ coïncide aussi avec sa série de Taylor sur $]-R,R[$. De plus selon la parité de la fonction $f$, on a $a_{2k+1}=0$ si $f$ est paire, et $a_{2k}=0$ si $f$ est impaire.

Une propriété importante (une version de l’extension analytique) est que si deux fonctions sont développables en séries entières sur un intervalle $I$ (avec $0\in I$) et qu’elles coïncident sur un voisinage de $0,$ alors elles coïncident partout sur $ I$.

Auquel cas le développement d’une fonction en série entière est valide

Dans le paragraphe précèdent on a vue que si une fonction $f$ est développable en série entière sur un intervalle $I,$ alors forcement $f\in C^\infty(I)$ et que $f$ coïncide avec sa série de Taylor $f(x)=\sum_n \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$ qui admet un rayon de convergence $R$ non nul. Il faut noter que ces conditions ne sont pas suffisante pour avoir un développement en série entière. Il suffit de considérer la fonction classique suivante \begin{align*} f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}},& x\neq 0,\cr 0,& x=0.\end{cases}\end{align*} Il est bien connu que $f$ est une fonction de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$ et que pour tout $n$, on a $f^{(n)}(0)=0$. Donc la série de Taylor de $f$ est nulle, mais la fonction $f$ n’est pas identiquement nulle.

Condition suffisante: Pour qu’une fonction $f$ de classe $C^\infty(I)$ soit développable en série entière en $0$ il suffit qu’il existe $\alpha>0$ et $M>0$ tel que $|f^{(n)}(x)|\le M$ pour tout $n$ et tout $x\in ]-\alpha,\alpha[$. Dans ce cas, on a \begin{align*} f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n,\quad \forall x\in ]-\alpha,\alpha[.\end{align*}

Sélection d’exercices sur le développement d’une fonction en série entière

Exercice:

  1. Montrer que \begin{align*} \arcsin(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2n+1}\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}x^{2n+1},\quad \forall x\in ]-1,1[.\end{align*}
  2. Montrer que la serie dans la question 1 est normalement convergente sur $[-1,1]$.
  3. Montrer que \begin{align*} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \arcsin(\sin(t))dt=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}.\end{align*}
  4. En déduire que \begin{align*} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8},\quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.\end{align*}

Solution:

  1. Soit la fonction \begin{align*} h(t)=\frac{1}{\sqrt{1-t^2}},\quad t\in ]-1,1[.\end{align*} La fonction $h$ est paire, et d’après les exemple classique de développement en série entière on a \begin{align*} h(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}t^{2n},\quad \forall t\in ]-1,1[.\end{align*} En suite, notez que \begin{align*} \arcsin(x)=\int^x_0 h(t)dt,\quad \forall x\in ]-1,1[.\end{align*}Maintenant le résultat découle facilement du théorème donnant la primitive d’une série entière.
  2. D’apres un resultat sur les integrales de Wallis on a \begin{align*}c_n:=\frac{1}{2n+1}\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}=\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^\frac{3}{2}}\right).\end{align*} Soit maintenant la suite de de fonctions \begin{align*} f_n(x)=c_n x^{2n+1},\quad x\in [-1,1].\end{align*} Par la série de Riemann, la série numérique $\sum_n c_n$ est convegente. De plus on a $|f_n(x)|\le c_n$ pour tout $x\in [-1,1]$. D’ou la convergence normale de la série de fonctions $\sum_n f_n$.
  3. Soit la suite de fonctions $\varphi_n:[0,\frac{\pi}{2}]\to\mathbb{R}$ définie par $\varphi_n=f_n\circ sin$. Comme $|\varphi_n(x)|\le c_n$ pour tout $x\in [0,\frac{\pi}{2}],$ la série de fonctions $\sum_n \varphi_n$ converge normalement sur $[0,\frac{\pi}{2}]$. D’après la question 1 et le théorème d’intégration des séries de fonctions \begin{align*} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \arcsin(\sin(t))dt&= \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sum_{n=0}^{\infty}c_n \sin^{2n+1}(t)dt\cr & = \sum_{n=0}^{\infty} c_n \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^{2n+1}(t)dt.\end{align*} D’autre part, selon Wallis on a \begin{align*} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^{2n+1}(t)dt= \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)!}.\end{align*} par suite \begin{align*} \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \arcsin(\sin(t))dt&= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2} \frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)!}\cr & = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}.\end{align*}
  4. On a \begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} &=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \arcsin(\sin(t))dt\cr & = \int^{\frac{\pi}{2}}_0 tdt=\frac{\pi^2}{8}.\end{align*} D’autre part, on pose $S=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$. Donc \begin{align*}S=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n)^2}+\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{1}{4}S+\frac{\pi^2}{8}.\end{align*} Ainsi $S=\frac{\pi^2}{6}$.
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