Nous répondons a la question suivante: comment trouver les extremums locaux d’une fonction? Cette notion est très importante car les les extremums fournissent beaucoup d’informations sur une fonction et aident à répondre aux questions d’optimalité.
Définitions des extremums d’une fonction
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f:I\to\mathbb{R}$ une fonction et soit $x_0\in I$. On a des définitions suivantes
Extremum global: On dit que $f$ admet un maximum global en $x_0$ si pour tout $x\in I,$ on a $f(x)\le f(x_0)$. De même $f$ admet un minimum global en $x_0$ si $f(x)\ge f(x_0)$ pour tout $x\in I$.
Extremum local: La fonction $f$ admet un maximum local en $x_0$ si il existe $\alpha>0$ tel que pour tout $x\in I\cap [x_0-\alpha,x_0+\alpha],$ on a $f(x)\le f(x_0)$. De plus $f$ admet un minimum locale en $x_0$ s’il existe $\beta>0$ tel que $f(x)\ge f(x_0)$ pour tout $x\in I\cap [x_0-\beta,x_0+\beta]$.
Ici le mot extremum signifie maximum où minimum. Par on utilise le terme extrema ou lieu de extremums.
Savoir comment trouver les extremums locaux d’une fonction
Si la fonction à minimiser ou maximiser est assez régulière (différentiable par exemple), alors une approche plus pratique peut être suivie pour déterminer ces extrema. On a le résultat suivant qui donne une condition nécessaire qui doit satisfaire un extremum :
Théorème: On suppose que $f:I\to \mathbb{R}$ est dérivable sur $I$. Si $f$ admet un extremum local en $x_0,$ alors $f'(x_0)=0$.
La réciproque de ce théorème n’est vrai en général. En effet si on considère la fonction $f(x)=x^3$ alors elle est dérivable et $f(0)=0$, mais $0$ n ‘est ni minimum ni maximum de $f$ sur tout intervalle $]-a,a[$ pour tour $a>0$. Ainsi il faut chercher d’autre conditions pour trouver les extremums.
Première méthode (teste avec la dérivée première): on suppose que $f$ est dérivable sur $I$ et qu’il existe $c\in I$ tel $f'(c)=0$ (le point $c$ est dit un point critique de $f$). On a les deux situations suivantes:
- si $f’>0$ sur $[c-\alpha,c[$ et $f'<0$ sur $]c,c+\alpha]$ alors $c$ est un maximum local de $f$.
- si $f'<0$ sur $[c-\alpha,c[$ et $f’>0$ sur $]c,c+\alpha]$ alors $c$ est un minimum local de $f$.
En termes plus simples, un point est un maximum d’une fonction si la fonction augmente à gauche et diminue à partir du point critique.
Exemple d’application: Soit la fonction $f(x)=x^3$. On a $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $f'(x)=3x^2$ et $f'(0)=0$ ($0$ est le seule point critique de $f$). Notez que $f'(x)>0$ pour tout $x\neq 0$. Donc $f’$ garde toujours un signe positif sur $\mathbb{R}$. Ainsi $f$ n’admet des extremums locaux en $0$.
Deuxième méthode (teste avec la dérivée seconde): On suppose que $f$ est deux fois dérivables sur $I$ et soit $c$ un point critique de $f$ ($f'(c)=0$). Alors on a
- Si $\ddot{f}<0$ sur $[c-\alpha,c+\alpha]$ alors $c$ est un maximum local de $f$.
- lorsque $\ddot{f}>0$ sur $[c-\alpha,c+\alpha]$ alors $c$ est un maximum local de $f$.
Exercice: Considérons $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ tels que $\alpha<\beta<\alpha+2\pi$. Trouver les extremums de la fonction suivante: \begin{align*} f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(t)=|e^{it}-e^{i\alpha}|+|e^{it}-e^{i\beta}|.\end{align*}
Solution: Tout d’abord, il faut notez que $f$ est $2\pi$ périodique. Il suffit donc d’étudier la fonction $f$ sur $[\alpha,\alpha+2\pi]$. Un simple calcul de module montre que \begin{align*} f(t)=\begin{cases} 2\left(\sin \frac{t-\alpha}{2}+\sin\frac{\beta-t}{2}\right),& t\in [\alpha,\beta],\cr 2\left(\sin \frac{t-\alpha}{2}+\sin\frac{t-\beta}{2}\right),& t\in [\beta,\alpha+2\pi].\end{cases}\end{align*} Voici le tableau de variations de $f$
Il bien claire que le minimum de la fonction $f$ égal à $2\sin \frac{\beta-\alpha}{2}$ est atteint pour $t=\alpha$ et $t=\beta$. Cette fonction admet aussi deux maximums locaux qui sont $4\sin \frac{\beta-\alpha}{4}$ et $4\cos \frac{\beta-\alpha}{4}$ atteints pour $t=\frac{\alpha+\beta}{2}$ et $\frac{\alpha+\beta}{2}+\pi$.
