Par définition la valeur d’adhérence d’une suite est la limite d’une de ses sous-suites. C’est une notion importante étant donné qu’en mathématiques il suffit parfois que la sous-suite converge pour pousser les calculs vers une preuve d’un résultat en analyse mathématique.
Généralités sur la valeur d’adhérence d’une suite
Soit $(x_n)_n$ une suite de nombres réels. Les sous-suites de $(x_n)_n$ sont des suites de la forme $(x_{\varphi(n)})_n$ avec $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ une application strictement croissante. Le fait que cette application verifie $\varphi(n)\ge n$ pour tout $n,$ montre que si $x_n\to\ell$ alors aussi pour la sous-suite $x_{\varphi(n)}\to\ell$ quand $n\to\infty$. La réciproque n’est pas vrai (exemple $u_n=(-1)^n$).
Définition: On dit que $\lambda$ est une valeurs d’adhérence d’une suite $(x_n)_n$ si il existe $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ strictement croissante tel que $x_\varphi(n)\to \lambda$ quand $n\to+\infty$.
D’après la discussion en haut, si la suite mère $(x_n)_n$ est convergente vers un certain $\ell\in\mathbb{R},$ alors cette limite est la seule valeur d’adhérence de la suite. De plus pour que la suite mère soit convergente, il faut que toute les sous-suites de la suite converge vers une même limite (valeur d’adhérence).
La suite $u_n=(-1)^n$ n’est pas convergente car elle admet deux valeurs d’adhérences $\lambda_1=1$ et $\lambda_2=-1$.
Exercices corriges sur les valeurs d’adhérences
Exercice: Montrer que pour qu’une suite bornée $(x_n)_n\subset \mathbb{R}$ converge vers $\lambda,$ il faut et il suffit qu’elle admettre $\lambda$ pour seule valeur d’adhérence. D’autre part, montrer que ce résultat peut tomber en défaut si la suite $(x_n)_n$ n’est pas supposée bornée.
Solution: Supposons que $x_n\to \lambda$ quand $n\to\infty$. Alors pour tout $\varepsilon>0,$ il existe $N\in\mathbb{N}$ tel que $n\ge N$ implique $|x_n-\lambda|<\varepsilon$. Mais pour toute application strictement croissaante $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ on a $\varphi(n)\ge n$. Donc si $n>N$ alors aussi $\varphi(n)>N$ et donc $|x_{\varphi(n)}-\lambda|<\varepsilon$. Ainsi $x_{\varphi(n)}\to \lambda$ pour tout $\varphi$. Cela implique que $\lambda$ est la seule valeur d’adhérence de la suite.
Inversement : ici on raisonnera par l’absurde. On suppose que la suite est bornee et ne converge pas vers $\lambda$. Donc il existe $\varepsilon>0,$ tel que pour tout $N\in \mathbb{N},$ il existe $n_1\in \mathbb{N}$ tel que $n_1>N$ et $|x_{n_1}-\lambda|>\varepsilon$. Pour $n_1,$ il existe $n_2>n_1$ et $|x_{n_2}-\lambda|>\varepsilon$. Ainsi de suite pour tout $k,$ il existe $n_{k+1}>n_k$ et $|x_{n_{k+1}}-\lambda|>\varepsilon$., On a ainsi construit une application strictement croissante $\psi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tel que $\psi(k)=n_k$ pour tout $k$ et $|x_{\varphi(n)}-\lambda|>\varepsilon$ pour tout $n$. D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass la suite bornée $(x_{\psi(n)})_n$ admet au moins une valeur d’adhérence $\mu$. Et donc, en passant à la limite, on a $|\mu-\lambda|\ge \varepsilon$. Donc $\mu\neq \lambda$, ceci est en contradiction avec l’énoncé puisque $\mu$ est lui-même une valeur d’adhésion de $(x_n)$.
Soit la suite non bornée $(x_n)_n$ définie par $x_{2n}=0$ et $x_{2n+1}=n$. Notez que $0$ est une valeur d’adhérence de la suite $(x_n)$. mais la suite ne converge pas vers $0$. Ainsi la condition $(x_n)_n$ bornée dans l’énoncé est incontournable.
Exercice: Soit une suite $(u_n)_n$ telle que sa valeur absolue ne tend pas vers $+infty$. Montrer que l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite $(u_n)_n$ n’est pas vide.
Solution: Le fait que $|u_n|$ ne tend pas vers $+\infty$ implique qu’il existe $M>0,$ tel que pour tout $N\in \mathbb{N}$ il existe $n_1\in \mathbb{N}$ tel que $n_1>N$ et $|u_{n_1}|\le M$. Pour $n_1$ il existe $n_2\in\mathbb{N}$ tel que $n_2>n_1$ et $|u_{n_2}|\le M$. Ainsi de suite pour tout $k,$ on construit $n_k$ tel que $u_{k}>u_{k-1}$ et $|u_{n_k}|\le M$. On a donc construit une application strictement croissante $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, $\varphi(k)=n_k$ et $|u_{\varphi(k)}|\le M$ pour tout $k$. Comme la suite $(u_{\varphi(k)})_k$ est bornée, donc par le théorème de Bolzano-Weierstrass il existe $\psi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ strictement croissante tel que $u_{\varphi(\psi(k))}$ soit convergente vers $\lambda\in \mathbb{R}$. D’où le résultat vue que $(u_{\varphi(\psi(k))}))_k$ est une sous suite de $(u_n)_n$.
