Exercices corrigés de probabilités

On propose des exercices corrigés de probabilités. En particulier les lois de probabilité, probabilité conditionnelle, fonction caractéristique, convergence en probabilité. C’est le programme de Mathématiques spéciales et aussi la licence de mathématiques.

Exercice: Soit $(A_n)$ une suite d’événements dans un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$. On suppose que la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(A_n) $$converge. Montrer que l’événement $$ E=\bigcap_{k=0}^{+\infty}\bigcup_{p=k}^{+\infty}A_p $$ est négligeable.

Solution: On pose $$ B_k=\bigcup_{p=k}^{+\infty}A_p,\quad k\ge 0. $$ On remarque que $B_{k+1}\subset B_k$, donc $(B_k)$ est une suite décroissante d’événements. Par le théorème de continuité monotone on a $$ \mathbb{P}(E)=\mathbb{P}\left(\bigcap_{k=0}^{+\infty}B_k\right)=\lim_{k\to +\infty}\mathbb{P}(B_k).$$ D’autre part, d’après l’inégalité de Boole que $$ 0\le \mathbb{P}(B_k)\le \sum_{p=k}^{+\infty} \mathbb{P}(A_p). $$Comme $$ \lim_{k\to +\infty}\sum_{p=k}^{+\infty} \mathbb{P}(A_p)= 0 \quad (\text{reste d’une série convergente}), $$ alors $$ \mathbb{P}(E)=\lim_{k\to +\infty}\mathbb{P}(B_k)=0.$$

Exercice:

1. On pose $$ \mathbb{P}({n})=\frac{1}{n(n+1)},\qquad \forall n\in\mathbb{N}^\ast. $$Montrer que $\mathbb{P}$ est une probabilité sur $\mathbb{N}^\ast$.
2. Soit la constante d’Euler $$\gamma:=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln(n)\right). $$En utilisant cette constante et les propriétés des séries convergentes, calculer la probabilité pour qu’un entier soit pair.

Solution:

1. Nous allons utiliser le résultat suivant: Soit $\Omega$ un ensemble au plus dénombrable. Si $(p_\omega)_{\omega\in \Omega}$ est une famille de réels vérifiant pour tout $\omega\in\Omega$ on a \begin{align*}&(a)\quad p_\omega\ge 0\cr &(b)\quad \sum_{\omega\in\Omega}p_\omega=1,\end{align*} alors il existe une unique probabilité $\mathbb{P}$ sur $(\Omega,\mathcal{P}(\Omega)$ telle que $\mathbb{P}({\omega})=p_\omega$ pour tout $\omega\in\Omega$. De plus la probabilité $\mathbb{P}$ est définie, pour tout événement $A,$ par $$ \mathbb{P}(A)=\sum_{\omega\in A} p_\omega. $$ on a $\Omega=\mathbb{N}^\ast$ et $p_n=1/n(n+1)$. On a $p_n>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$, et donc le point (a) est vérifié. D’autre part, comme $$ \sum_{m=1}^n \frac{1}{m(m+1)}=\sum_{m=1}^n \left(\frac{1}{(m+1)}-\frac{1}{m}\right)=1-\frac{1}{1+n} $$ alors on a $$ \sum_{n\in\mathbb{N}^\ast} p_n=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)}=1. $$ d’où le résultat.
2. L’ensembe des événements pair est $A=2\mathbb{N}^\ast$. Donc\begin{align*}\mathbb{P}\left(2\mathbb{N}^\ast\right)&=\sum_{m\in 2\mathbb{N}^\ast}\frac{1}{m(m+1)}=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n(2n+1)}.\end{align*}D’autre part, pour tout $q\in\mathbb{N}^\ast$ on a:\begin{align*}\sum_{n=1}^q\frac{1}{2n(2n+1)}&= \sum_{n=1}^q\left(\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}\right)\cr &= 2\sum_{n=1}^q \frac{1}{2n}-\sum_{n=1}^q \left(\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}\right)\cr &= \sum_{n=1}^q \frac{1}{n}-\sum_{n=2}^{2q+1} \frac{1}{n}.\end{align*}Mais on a $$ \sum_{n=1}^q \frac{1}{n}=\ln(q)+\gamma+o(1) $$quand $q\to\infty$. Donc \begin{align*}\sum_{n=1}^q\frac{1}{2n(2n+1)}&=\ln(q)+\gamma+1-\ln(2q+1)-\gamma+o(1)\cr &= 1-\ln\left(2+\frac{1}{q}\right)+o(1).\end{align*}En faisant tendre $q\to+\infty$ on obtient $$ \mathbb{P}(2\mathbb{N}^\ast)=1-\ln(2). $$