Dans cet article, nous explorerons les propriétés des intégrales de Bertrand, examinerons leurs conditions de convergence et de divergence, et fournirons des preuves pour mieux comprendre ces résultats.
Les intégrales de Bertrand sont un ensemble d’intégrales définies par Joseph Bertrand, un mathématicien français du 19e siècle. en fait, ces intégrales présentent des propriétés intéressantes et leur étude est importante en analyse mathématique des intégrales généralisées.
Définition des Intégrales de Bertrand
Ce sont des intégrales définies de la forme : $$ \int\dfrac{1}{x^{p} (\ln x)^{q}}dx,$$ où $\displaystyle p$ et $\displaystyle q$ sont des nombres réels.
Convergence et Divergence
La convergence ou la divergence des intégrales de Bertrand dépend des valeurs de $\displaystyle p$ et $\displaystyle q$. Explorons les conditions de convergence pour différentes valeurs de $\displaystyle p$ et $\displaystyle q$.
Problème de convergence de l’intégrale de Bertrand a l’infini
Théorème 1: Pour tout $c>1$, L’intégrale $$ \int^{+\infty}_c \dfrac{1}{x^{p} (\ln x)^{q}}dx,$$ est convergente si et seulement si $p>1$ ou ($p=1$ et $q>1$).
La fonction $f(x)=\dfrac{1}{x^{p} (\ln x)^{q}}$ est definie, continue et positive sur $[c,+\infty[$. Ainsi $f$ est integrable sur chaque compact de $[c,+\infty[$. Pour la convergence nous allons commencer par le cas le plus simple:
$\bullet$ Si $p<1$, alors par le théorème des croissances comparées, on a $$ \lim_{x\to+\infty} xf(x)=\frac{x^{1-p}}{(\ln(x))^q}=+\infty.$$ Donc il existe $A>0$ tel que $$ \frac{1}{x}\le f(x),\qquad \forall x\ge A.$$ Comme l’intégrale $\int^{\infty}_c \frac{dx}{x}$ est divergente alors par comparaison notre intégrale d’origine est divergente.
$\bullet$ Si $p=1$ et si $y\ge c$, alors le changement de variable $x=\ln(t)$ implique $$ \int^y_c \dfrac{1}{x (\ln x)^{q}}=\int^{\ln(y)}_{\ln(c)} \frac{dt}{t^p}.$$ Donc l’intégrale est convergente si et seulement si $q>1$.
$\bullet$ On suppose que $p>1$ et soit $\alpha\in ]1,p[$. Par croissances comparées on a $$ \lim_{x\to+\infty} x^\alpha f(x)=\frac{x^{\alpha-p}}{(\ln(x))^q}=0.$$ Donc il exist $B>0$ tel que $$ f(x)\le \frac{1}{x^\alpha},\qquad \forall x>B.$$ Ainsi, comme $\alpha>1$ et par comparaison avec l’intégrale de Riemann notre intégral d’origine est convergente.
Problème de convergence au point zéro
Théorème 2: Pour tout $0<\varepsilon<1$, L’intégrale $$ \int^{\varepsilon}_0 \dfrac{1}{x^{p} |\ln x|^{q}}dx,$$ est convergente si et seulement si $p<1$ ou ($p=1$ et $q>1$).
La fonction $f(x)=\dfrac{1}{x^{p} |\ln x|^{q}}$ est definie, continue et positive sur $]0,\varepsilon[$. Ainsi $f$ est integrable sur chaque compact de $]0,\varepsilon[$. Le changement de variable $t=\frac{1}{x}$ nous donne $$ \int^{\varepsilon}_0 \dfrac{1}{x^{p} |\ln x|^{q}}dx= \int^{+\infty}_{\frac{1}{\varepsilon}} \dfrac{1}{t^{2-p} (\ln t)^{q}}dt.$$ D’apres le theoreme 1, notre integrale est convergente si et seulement si $2-p>1$ ou ($2-p=1$ et $q>1$. Autrement dit, $p<1$ ou ($p=1$ et $q>1$).
Ces résultats sont importants en analyse mathématique et peuvent être appliqués dans divers domaines scientifiques et techniques. L’étude des intégrales de Bertrand continue d’attirer l’attention des mathématiciens et suscite de nouvelles recherches pour approfondir notre compréhension de ces intégrales spéciales.
Une bonne application de ces deux résultats et les séries de Bertrand.
Exercices sur les intégrales de Bertrand
Exercice: Etudier pour quelles valeurs de $n\in\mathbb{N}$ l’intégrale suivante $$ I_n:=\int^{+\infty}_1 \frac{\ln(x)}{x^n}dx$$ converge et calculer sa valeur.
Remarquer que $$ I_n=\int^{+\infty}_1 \frac{1}{x^n(\ln(x))^{-1}}dx.$$ Ce qui montrer que $I_n$ est une intégrale de Bertrand pour $p=n$ et $q=-1$ (si on utilise les notations de cette page). Donc d’après le théorème 1, cette intégrale est convergente si et seulement si $n>1$, et donc $n\ge 2$.
Calculons $I_n$ pour tout $n\ge 2$. Par intégration par partie, on a \begin{align*} I_n&= \left[ \frac{x^{-n+1}}{-n+1} \ln(x) \right]^{x\to+\infty}_{x=1}-\int^{+\infty}_1 \frac{x^{-n+1}}{-n+1} \frac{1}{x} dx\cr &= \frac{1}{n-1}\int^{+\infty}_1 \frac{1}{x^n}dx=\frac{1}{(n-1)^2}.\end{align*}
Applications et Signification
Les intégrales de Bertrand ont des applications dans divers domaines des mathématiques et de la physique théorique. Elles sont souvent utilisées pour étudier le comportement asymptotique des fonctions, les séries numériques et les équations différentielles. En physique, elles interviennent dans l’analyse de divers phénomènes, tels que la diffusion des particules, les phénomènes thermodynamiques et bien d’autres.
Conclusion: Les intégrales de Bertrand offrent un aperçu intrigant de la convergence et de la divergence des fonctions intégrables. Leur étude nous permet de mieux comprendre comment les propriétés de croissance de la fonction $f(x)$ et des termes $x^p(\ln(x))^q$ influencent la convergence ou la divergence de l’intégrale. En explorant ces intégrales, les mathématiciens et les chercheurs continuent d’approfondir notre compréhension des propriétés fondamentales des fonctions et de leur comportement aux limites.
