L’intégration par parties, est une méthodes puissante de calcul intégral, permet de simplifier des intégrales complexes en les transformant en produits plus simples. Dans cet article, nous plongeons dans la méthode de l’intégration par parties et explorons ses diverses applications.
Intégration par Parties : Méthode Fondamentale
L’intégration par parties repose sur la formule : $$ \int udv=uv-\int vdu,$$ où $u,v$ sont des fonctions appropriées et et $du,dv$ sont leurs dérivées et intégrales respectives.
Le choix des fonctions $u$ et $dv$ est crucial. En général, choisissez $u$ de manière à obtenir une dérivée simple lors de la différentiation, et $dv$ de manière à obtenir une intégrale simple lors de l’intégration. Les fonctions trigonométriques, les logarithmes et les polynômes sont souvent de bons candidats.
Voici le Théorème qui donne la puissante formule d’intégration.
Théorème d’intégration par parties
Soient $u,v:[a,b]\to\mathbb{C}$ deux fonctions de classe $C^1$ sur l’intervalle $[a,b]$. Alors $$ \int^b_a u(t)v'(t)dt=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int^a_b u'(t)v(t)dt.$$
Pour simplifier le calcul des les exercices d’intégration, on adopte la notation suivante $$ \left[u(x)v(x)\right]^b_a=u(b)v(b)-u(a)v(a).$$
Simplification des Intégrales
Cette méthode permet de simplifier des intégrales en les décomposant en deux termes, l’un étant plus simple à intégrer que l’autre. Elle est particulièrement utile pour traiter des produits de fonctions, des intégrales trigonométriques et des intégrales logarithmiques.
Lorsque vous utilisez l’intégration par parties, gardez à l’esprit les conditions de convergence et de divergence des intégrales. Vous pourriez avoir besoin de vérifier si l’intégrale converge après avoir simplifié.
Comme pour toute compétence mathématique, la pratique est essentielle. Résolvez différents types d’exercices en utilisant l’intégration par parties pour renforcer votre compréhension et votre aisance avec la méthode
Exemple Concret : Intégrale Logarithmique
Nous utilisons l’intégration par parties pour évaluer l’intégrale $$ \int \ln(x)dx.$$ En posant $u=\ln(x)$ et $v(x)=x$, on a alors \begin{align*} \int \ln(x)dx&=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx\cr &=\ln(x) x-\int \frac{1}{x} xdx,\end{align*} qui simplifie à $$ \int \ln(x)dx=x\ln(x)-x+C,\quad C\in\mathbb{R}.$$
Applications Étendues
L’intégration par parties est essentielle dans divers domaines mathématiques et scientifiques. Elle est utilisée en probabilité, en statistiques, dans les équations différentielles, et en physique pour résoudre des problèmes de mécanique, de thermodynamique et de dynamique des fluides.
Conclusion: Cette méthode intégration est une technique puissante pour simplifier les intégrales complexes en transformant les produits en termes plus gérables. Son utilisation s’étend à divers domaines et sa maîtrise élargit la boîte à outils des mathématiques et de la science.
Exercices corriges sur l’intégration par parties
Exercice 1: Calculer l’intégrale suivante $$ I=\int^{\pi}_0 \sin(x) e^x dx.$$
En intégrant par parties deux fois et en remarquant que $\sin(x)=(-\cos(x))’$, on a \begin{align*} I&= \left[ -\cos(x)e^x\right]^{\pi}_0-\int^\psi_0 (-\cos(x))e^xdx\cr &= 1+e^{\pi}+\int^\pi_0\cos(x)e^xdx\cr &= 1+e^{\pi}+\left[ \sin(x)e^x\right]^{\pi}_0 -\int^\pi_0 \sin(x)e^xdx.\end{align*} Ce qui donne $$ 2 I=1+e^{\pi}.$$ Ainsi $$ I=\frac{1+e^{\pi}}{2}.$$
Exercice 1: Calculer l’intégrale suivante $$ J=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \cos(x) \sin(x) dx.$$
Comme $\sin(x)=(-\cos(x))’$ et $(\sin(x))’=\cos(x)$, alors on a \begin{align*} J&= \left[ -\sin(x)\sin(x)\right]^{\frac{\pi}{2}}_0-\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin(x)\cos(x)dx\cr &= 1-J.\end{align*} Ce qui donne $$J=\frac{1}{2}.$$
