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Limite supérieure et limite inférieure de suites

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On s’intéresse aux limite supérieure et limite inférieure des suites. Ce sont des limites qui existent toujours et qui jouent un rôle important en mathématiques. ils ont également une forte relation avec les valeurs d’adhérences. De plus, ils entrent dans l’énoncé des grands théorèmes des mathématiques comme le lemme de Fatou.

Généralités sur limite supérieure et limite inférieure des suites

Soit $(u_n)_n$ une suite de nombres réels. On pose \begin{align*} v_n:=\sup_{k\ge n} u_k\quad \text{et}\quad w_n:=\inf_{k\ge n} u_k.\end{align*} Comme $\{k\ge n+1\}\subset\{k\ge n\}$, alors $v_{n+1}\le v_n$ et $w_{n+1}\ge w_n$. Donc $(v_n)_n$ est une suite décroissante et $(w_n)_n$ est une suite croissante. Ainsi ils existes $\ell,L\in \overline{\mathbb{R}}$ tels que $v_n\to \ell$ et $w_n\to L$ quand $n\to \infty$. Notez que si la suite $(u_n)_n$ est bornée alors les suites $(v_n)_n$ et $(w_n)_n$ sont aussi bornées et donc $\ell,L\in \mathbb{R}$.

Il faut aussi noter que $w_n\le u_n\le v_n$ pour tout $n$. On définit alors les deux quantités suivantes \begin{align*} \limsup_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}v_n,\quad \liminf_{n\to\infty}u_n:=\lim_{n\to\infty}w_n,\end{align*} appelées respectivement limite supérieure et limite inférieure de la suite $(u_n)_n$. Parfois on utilise la notation $\overline{\lim}$ pour la limite supérieure et $\underline{\lim}$ pour la limite inférieure. Il Faut aussi remarquer que \begin{align*} \liminf_{n\to\infty}u_n\le \limsup_{n\to\infty}u_n.\end{align*} On a aussi le résultat suivant:

Théorème: Une suite $(u_n)_n$ est convergente vers un réels $\ell$ si et seulement si $\liminf_{n\to\infty}u_n= \limsup_{n\to\infty}u_n=\ell$.

On a aussi les deux propriétés suivantes:

  • La limite supérieure d’une suite est la plus grande de ses valeurs d’adhérence.
  • La limite inférieure d’une suite est la plus petite de ses valeurs d’adhérence.

Exercices corrigés sur les limites supérieure et inferieure

Exercice: Soit $(u_n)_n$ une suite de nombres réels telle que $\liminf_n u_n=0$, $\limsup_n u_n=1$ et $|u_{n+1}-u_n|\to 0$ quand $n\to\infty$. On note par $A$ l’ensemble des valeurs d’adhérence de la suite $(u_n)_n$. Determiner $A$.

Solution: D’après les deux dernières lignes du paragraphe précédent on a $A\subset [0,1]$. Montrons que $A=[0,1]$. Comme $0,1\in A$, il suffit de montrer que $]0,1[\subset A$. Soit alors $\lambda\in ]0,1[$ et montrons que $\lambda\in A$. Pour cela nous allons cnstruire une sous-suite de $(u_n)_n$ qui converge vers $\lambda$. En effet, comme la suite $\sup_{k\ge n}u_k$ décroît vers $1,$ alors $\sup_{k\ge n}u_k\ge 1$. Et donc il existe $p\ge n$ tel que $u_p> \lambda$. De meme comme la suite $\inf_{k\ge n}u_k$ crois vers 0, alors il existe $q\ge n$ tel que $u_q< \lambda$. On pose alors \begin{align*} \varphi(n):=\min\{q>p: u_q<\lambda\}.\end{align*} On a alors $u_{\varphi(n)}\le \lambda\le u_{\varphi(n)-1}$. Mais si $n\to +\infty$ on a aussi $\varphi(n)\to +\infty,$ et donc $|u_{\varphi(n)}-u_{\varphi(n)-1}|\to 0$ quand $n\to\infty$. Cela montre que $u_{\varphi(n)}\to \lambda$ quand $n\to\infty$. Ainsi $\lambda\in A$.

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