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Fonction indicatrice

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L’une des fonctions les plus importantes en mathématiques et la fonction indicatrice. Il est souvent utilisé en théorie de l’intégration (espace de Lebesgue) et en particulier en probabilité. Nous donnons les propriétés de cette fonction ainsi que quelques exercices d’application.

Etant donne un ensemble $E$ et une partie $A\subseteq E,$ on definie la fonction indicatrice $1_A:E\to \mathbb{R}$ de $A$ par \begin{align*} 1_A(x)=\begin{cases} 1,& x\in A,\cr 0,& n\notin A.\end{cases}\end{align*}

Dans la suite nous donnons des exercices sur cette fonction magique.

Une sélection d’exercices corriges sur la fonction indicatrice.

Exercice (fonction indicatrice d’une union disjoint): Soit $E$ un ensemble.

  1. Montrer que si $A,B\subset E$ sont tels que $A\cap B=\emptyset,$ alors $1_{A\cup B}=1_A+1_B$.
  2. De façon plus générale soit $(A_n)_n$ une famille de sous-ensembles de $E$ deux à deux disjoints. Montrer que \begin{align*} 1_{\cap_n A_n}=\sum_n 1_{A_n}.\end{align*}

Solution: 1- Si $x\in A\cup B,$ alors forcement on a $x\in A$ ou $x\in B$ (donc si $x\in A$ alors $x\notin B$ et inversement, vue que $A\cap B=\emptyset$). Par suite on a $(1_A+1_B)(x)=1=1_{A\cup B}(x)$. Maintenant si $x\notin A\cup B$ alors $x\notin A$ et $x\notin B$. Par suite on a $(1_A+1_B)(x)=0=1_{A\cup B}(x)$. Il est donc facile de voir que si on a un nombre fini de partie de $E$, disant $A_1,A_2,\cdots,A_p$ deux à deux disjoints alors la fonction indicatrice de l’union est $1_{\cup_{k=1}^p A_k}=\sum_{k=1}^p 1_{A_k}$.

2- On a \begin{align*} \sum_n 1_{A_n}= \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n 1_{A_k}.\end{align*} Cette limite existe est égale à $1$ si $x\in \cup_n A_n$ et $0$ si non. Donc coïncide avec la fonction indicatrice de $\cup_n A_n$.

Exercice: Monter que si A et B sont deux partie d’un ensemble $E,$ alors $1_{A\cap B}=1_A\;1_B$.

Solution: Si $x\in A\cap B$ alors la fonction indicatrice de $A\cap B$ est égale à $1$. D’autre part, puisque $x\in A$ et $x\in B,$ alors $1_A(x)=1$ et $1_B(x)=1$, et donc $1_A(x)1_B(x)=1$. Donc $1_{A\cap B}=1_A\;1_B$ sur $A\cap B$. Maintenant si $x\notin A\cap B,$ donc $x\in A^c\cup B^c$ (ainsi $x\in A^c,$ ou $x\in B^c$ ou $x\in A^c\cap B^c$). Cela implique en particulier que $1_A(x)1_B(x)=0=1_{A\cap B}(x)$.

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