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Résumé sur les fractions rationnelles

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Dans cette partie, nous donnons un résumé sur les fractions rationnelles. Elles sont souvent utilisés dans le calcul des intégrales des fonctions quotient pour rendre le calcul élémentaire. Ce cours est accessible à tous les cursus de mathématiques, soit classes préparatoires, première année d’université ou école supérieure de commerce ou d’économie. Ce cours nécessite quelques connaissances sur les polynômes.

Cours se forme de résumé sur les fractions rationnelles

Dans tout ce qui suit, $\mathbb{K}$ désigne le corps $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{R}$.

Corps des fractions et degré d’une fraction

Déjà nous avons rencontré en début de formation sur les mathématiques les nombres rationnels dont nous avons noté l’ensemble par $\mathbb{Q}$. En fait $\mathbb{Q}$ est le corps des fractions de l’anneau d’entiers relatifs $\mathbb{Z}$. Donc les éléments de $\mathbb{Q}$ sont de la forme $x=\frac{a}{b}$ avec $a\in \mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{Z}^\ast$. De plus, on a ${\rm pgcd}(a,b)=1,$ alors on parle d’une représentation irréductible de $x$.

De la même façon on définie le corps des fractions de l’anneau intègre $\mathbb{K}[X]$. Il est appelé corps des fractions rationnelles sur $\mathbb{K}$, noté $\mathbb{K}(X)$. Ainsi $R\in \mathbb{K}(X)$ si et seulement si $R=\frac{A}{B}$ avec $A,B\in \mathbb{K}[X]$ son deux polynomes tel que $B$ est non nul. On a aussi \begin{align*} \frac{A}{B}=\frac{C}{D}\Longleftrightarrow AD=BC.\end{align*} De plus on a les operatoation suivantes sur $\mathbb{K}(X)$: \begin{align*} &\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{AD+BC}{BD}\cr & \frac{A}{B}\times \frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}.\end{align*} Ainsi $(\mathbb{K}(X),+,\times)$ est un corps.

$\clubsuit$ Si $R=\frac{A}{B}$ alors le couple $(A,B)$ est dit un représentant de la fraction rationnelle $R$. Si de plus $A$ et $B$ sont premiers entre eux alors $(A,B)$ est dit représentant irréductible de $R$.

$\clubsuit$ Pour toute fraction $F$ de $\mathbb{K}(X)$ et pour tous représentants $(A_1,B_1)$ et $(A_2,B_2)$ de $F$ on a ${\rm deg}(A_1)-{\rm deg}(B_1)={\rm deg}(A_2)-{\rm deg}(B_2)$. On a alors la definition suivante

Définition (degré): Soit $F=\frac{A}{B}$ une fraction de $\mathbb{K}(X)$. On appelle degré de $F$ l’élément ${\rm deg}(A)-{\rm deg}(B)$ de $\mathbb{Z}\cup{-\infty}$.

Soit la fraction rationnelle $F=\frac{A}{B}\in\mathbb{K}(X)$ avec $A\wedge B=1$. Une racine de $B$ d’ordre de multiplicité $k$ s’appelle un pôle de $F$ d’ordre de multiplicité $k$. Une racine de $A$ s’appelle un zéro de $F$.

Partie entière d’une fraction rationnelle

Soit $F=\frac{A}{B}\in\mathbb{K}(X)$. Alors les conditions suivantes sont équivalentes:

  • Il existe un et un seule polynôme $E$ tel que ${\rm deg}(F-E)<0$. Ce polynôme s’appelle la partie entière de la fraction $F$.
  • La partie entière $E$ de $F$ n’est rien d’autre que le quotient de la division euclidienne de $A$ par $B$.
  • Il existe une et une seule fraction $F_1\in\mathbb{K}(X)$ de degré négatif telle que $F=E+F_1$.
  • Si de plus $(A,B)$ est un représentant irréductible de $F,$ alors $(R,B)$ est un représentant irréductible de $F_1$ où $R$ est le reste de la division euclidienne de $(A,B)$. Autrement dit $F_1=\frac{R}{B}$ et $R\wedge B=1$.

On termine ce résumé sur les fractions rationnelles par la décomposition en éléments simple.

Décomposition d’une fraction en éléments simples

Théorème (décomposition sur $\mathbb{C}$): Soit la fraction rationnelle $F=\frac{A}{B}$ avec $A\wedge B=1$ et soit $E$ sa partie entière. Si $B$ se décompose sur $\mathbb{C}$ comme \begin{align*} B(X)=(X-z_1)^{\alpha_1}\cdots (X-z_p)^{\alpha_p}\end{align*} alors il existe une unique famille $\lambda_{kj}$ de nombres complexe telle que \begin{align*} F(X)=E(X)+\sum_{k=1}^p \left(\sum_{j=1}^{\alpha_k} \frac{\lambda_{kj}}{(X-z_k)^j}\right).\end{align*}

Théorème (décomposition sur $\mathbb{R}$): On considère une fraction rationnelle $F=\frac{A}{B}$ avec $A\wedge B=1$ et soit $E$ sa partie entière. On suppose que $B$ se décompose sur $\mathbb{C}$ comme \begin{align*} B(X)=\prod_{k=1}^p(X-z_k)^{\alpha_k}\prod_{k=1}^q (X^2+b_kX+c_k)^{\beta_k}\end{align*} avec $b_k^2-c_k<0$. Alors il existe trois uniques familles $\lambda_{kj},(\mu_{kj})$ et $(\nu_{kj})$ de nombres complexe telles que \begin{align*} F(X)=E(X)&+\sum_{k=1}^p \left(\sum_{j=1}^{\alpha_k} \frac{\lambda_{kj}}{(X-z_k)^j}\right)\cr&+\sum_{k=1}^q \left(\sum_{j=1}^{\beta_k} \frac{\mu_{kj}X+\nu_{kj}}{(X^2+b_k X+c_k)^j}\right).\end{align*}

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