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Partie entière d’un nombre réel

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Nous donnons un aperçu de la notion de partie entière d’un nombre réel. Il joue un rôle important dans la preuve des résultats en mathématiques. Il est également impliqué dans la division euclidienne et la densité des nombres rationnels dans l’ensemble des nombres réels.

Généralités sur la partie entière d’un nombre réel

L’ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ est trop riche (mathématiquement !!) dans le sens où de nombreuses propriétés sont valables dans $\mathbb{R}$, mais pas dans des espaces arbitraires. L’une de ces propriétés est que $\mathbb{R}$ est archimédien. Autrement dit, pour tout nombre réel $x$, il existe un entier $p$ supérieur à $x$. Cela implique, étant donné un réel $x>0$ (juste pour simplifier mais en peut aussi voir le cas $x<0$) l’ensemble \begin{align*} A:=\{p\in\mathbb{N}:p>x\}\end{align*} n’est pas vide, donc admet un minimum $p_0$. Donc par la caractérisation de la borne inférieure, pour $\varepsilon=1,$ il existe $n_1\in A$ tel que $p_0\le n_1<p_0+1$. Maintenant si on pose $n=p_0-1$, alors il est claire que $n\le x<n+1$. Le nombre $n$ sera appelé la partie entière de $x$.

Plus généralement, la partie entière d’un nombre réel $x,$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$. Elle sera noter $E(x)$ ou $[x]$. Ainsi pour tour $x\in\mathbb{R}$ on a $E(x)\le x<E(x)+1$. cela implique aussi $x-1<E(x)\le x$.

Unicité de la partie entière: Soit $n$ la partie entière d’un recel $x$. Donc elle vérifie $n\le x<n+1$. Supposons que $x$ admet une autre partie entière $p,$ on a aussi $p\le x<p+1$. Cela implique que $n<p+1$ et $p<n+1$. Ainsi $n=p$.

Exercices d’applications

Exercice: Soit $x\in\mathbb{R}^+$. Montrer que $E(\sqrt{x})=E(\sqrt{E(x)})$.

Solution: Pour $x\ge 0,$ on a $E(x)\in\mathbb{N}$ et $E(x)\le x<E(x)+1$. D’autre part, le fait que la fonction racine est croissante implique $\sqrt{E(x)}\le \sqrt{x}$. Cela implique $E(\sqrt{E(x)})\le \sqrt{x}$. Comme, par définition, $E(\sqrt{x})$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $\sqrt{x},$ on a $E(\sqrt{E(x)})\le E(\sqrt{x})$. De plus, on a $E(\sqrt{x})\le \sqrt{x},$ et donc $E(\sqrt{x})^2\le x$. ce qui donc que $E(\sqrt{x})^2\le E(x)$ par le même argument. Ainsi $E(\sqrt{x})\le \sqrt{E(x)}$. Cela implique que $E(\sqrt{x})\le E(\sqrt{E(x)})$. D’où le résultat.

Exercice (fonctions définies par la partie entière): Soit les fonctions $f,g:\mathbb{R}^\ast\to \mathbb{R}$ telles que \begin{align*} f(x)=1-xE\left(\frac{1}{x}\right),\quad g(x)=\sin(x)E\left(\frac{1}{x}\right).\end{align*} Calculer les limites des fonctions $f$ et $g$ en $0$.

Solution: Pour tout $x$ non nul, on a $\frac{1}{x}-1\le E\left(\frac{1}{x}\right)\le \frac{1}{x}$. Cela implique que $-1\le E\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x}\le 0$, et donc \begin{align*} \left| \frac{1}{x}-E\left(\frac{1}{x}\right) \right|\le 1.\end{align*} D’autre part, on a \begin{align*} |f(x)|=\left| x \left(\frac{1}{x}-E\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right|\le |x|.\end{align*} Ainsi $f(x)\to 0$ quand $x\to 0$. Pour la fonction $g$ pour $x\in ]0,\pi[$ on a $\sin(x)\ge 0$ et donc \begin{align*} \frac{\sin(x)}{x}-\sin(x)\le g(x)\le \frac{\sin(x)}{x}.\end{align*} Cela implique que \begin{align*} \lim_{x\to 0^+}g(x)=1.\end{align*} D’autre part, pour $x\in ]-\pi,0[$ on a $\sin(x)<0$ et donc \begin{align*} \frac{\sin(x)}{x}\le g(x)\le \frac{\sin(x)}{x}-\sin(x).\end{align*} On a alors \begin{align*} \lim_{x\to 0^-}g(x)=1.\end{align*} par suite $g(x)\to 0$ quand $x\to 0$.

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