Intégrales dépendant d’un paramètre

De nombreuses fonctions importantes (les fonctions gamma, transformées de Fourier) ont la forme d’intégrales dépendant d’un paramètre. Dans cet article, nous étudierons et décrirons les propriétés générales des intégrales en fonction d’un paramètre. Les intégrales dépendant d’un paramètre est une partie importante dans le chapitre des intégrales généralisées.

Une sélection d’exercices sur les intégrales dépendant d’un paramètre

Une application de ‘intégrale de Gaus

Exercice (Intégrale de Gauss): Dans cette exercice nous allons recalculer l’intégrale de Gauss en utilisant la théorie des intégrales dépendant d’un paramètre. Pour cela, on pose \begin{align*} g(x)=\int^1_0 \frac{e^{-(t^2+1)x^2}}{t^2+1}dt,\quad x\in [0,+\infty[.\end{align*}

1. Montrer que $g$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et que pour tout $x\ge 0,$ on a \begin{align*} g'(x)=-2f'(x)f(x)\end{align*} avec \begin{align*} f(x)=\int^{x}_0 e^{-u^2}du.\end{align*}
2. En déduire que \begin{align*}g(x)=\frac{\pi}{2}-f(x)^2,\quad \forall x\ge 0.\end{align*}
3. Conclure que la valeur de l’intégrale de Gauss \begin{align*}\int^{+\infty}_0 e^{-u^2}du=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.\end{align*}

Solution:

1. Notez que $(t,x)\in [0,1]\times [0,+\infty[\to\varphi(t,x)=\frac{e^{-(t^2+1)x^2}}{t^2+1}\in \mathbb{R}$ est continue. De plus pour $x\mapsto \varphi(t,x)$ est dérivable et $\partial_x \varphi(t,x)=2x e^{-(t^2+1)x^2}$. Par application du théorème de dérivabilité sous le signe intégral, la fonction $g$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et \begin{align*} g'(x)&=\int^1_0 \partial_x \varphi(t,x)dt\cr &= -2x \int^1_0e^{-(t^2+1)x^2}dt\cr &=-2x e^{-x^2}\int^1_0 e^{-(tx)^2}dt\cr &= 2e^{-x^2}\int^x_0 e^{-u^2}du.\end{align*} Par définition de la fonction $f,$ on a $f$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et que $f'(x)=e^{-x^2}$. Donc $g'(x)=-2 f'(x)f(x)$ pour tout $x\ge 0$.
2. Puisque $g'(x)=-(f(x)^2)’,$ alors par intégration entre $0$ et $x$, on obtient \begin{align*} g(x)-g(0)=f(0)^2-f(x)^2=-f(x)^2.\end{align*} Ainsi $g(x)-[\arctan(t)]^1_0=-f(x)^2$. Cela implique que $g(x)=\frac{\pi}{4}-f(x)^2$.
3. Comme \begin{align*} \int^{+\infty}_0 e^{-u^2}du=lim_{x\to+\infty} f(x),\end{align*}alors pour trouver la valeur de l’intégrale gaussienne il suffit de calculer $\lim_{x\to+\infty}g(x)$. On a pour tout $x\ge 0,$ \begin{align*} 0\le g(x)\le e^{-x^2} \int^1_0 \frac{dt}{t^2+1}=\frac{\pi}{4}e^{-x^2}.\end{align*} Il est claire maintenant que $g(x)\to 0$ quand $x\to+\infty$, par suite $f(x)\to \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ quand $x\to+\infty$. D’où le résultat.

Exercice: 1. Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R},$ l’intégrale \begin{align*} f(x)=\int^{+\infty}_{-\infty} e^{-t^2+itx}dt\end{align*} est uniformement convergente. De plus montrer que la fonction $f$, ainsi definie sur $\mathbb{R},$ admet pour derivee \begin{align*} f'(x)=\int^{+\infty}_{-\infty} ite^{-t^2+itx}dt\end{align*}2- Montrer que $f$ verifie l’equation differentielle suivante \begin{align*} 2f'(x)+xf(x)=0.\end{align*} En deduire que la valeur de $f(x)$ connaissant $f(0)=\sqrt{\pi}$.

Solution: 1- Soit $\psi(t,x)=e^{-t^2+itx}$ pour tout $(t,x)\in\mathbb{R}^2$. D’une part, remarquer que (par un changement de variable $t=-u$) que \begin{align*} \int^{+\infty}_{-\infty} \psi(t,x)dt=2\int^{+\infty}_0 e^{-t^2}dt.\end{align*} D’autre part, $|\psi(t,x)|\le e^{-t^2}$. Pour tout $t\ge 1$ on a $t^2\ge t,$ et donc $e^{-t^2}\le e^{-t}$, donc la fonction $t\in [0,+\infty[\to \mathbb{R}$ est intégrable, par suite l’intégrale $f(x)$ est normalement convergente. Maintenant pour dérivée l’intégrale on a besoin de la convergence uniforme de $\int^{+\infty}_{-\infty} \partial_t \psi(t,x)dt$. Cela peut être déduit facilement de la majoration suivante \begin{align*} |\partial_t \psi(t,x)|\le |t|e^{-t^2},\end{align*} vue que l’intégrale $\int^{+\infty}_{-\infty} |t|e^{-t^2}dt$ est convergente. Par suite, on a \begin{align*} f'(x)=\int^{+\infty}_{-\infty} \partial_t \psi(t,x)dt=\int^{+\infty}_{-\infty} it\psi(t,x)dt.\end{align*}2- Soit $\tau\ge 0,$ une intégration par partie implique que \begin{align*}2f'(x)&= \int^{\tau}_{-\tau} 2 it\psi(t,x)dt= -\int^{\tau}_{-\tau} i(e^{-t^2})’e^{itx}dt\cr & =\left[-ie^{-t^2}e^{itx}\right]^{\tau}_{-\infty}- x \int^{\tau}_{-\tau}e^{-t^2}e^{itx}dt.\end{align*} En faisant tendre $\tau$ vers $+\infty$ on trouve $2f'(x)=-xf(x)$. Cela implique que $2f'(x)+xf(x)=0$. Donc $f'(x)+\frac{x}{2}f(x)=0$. D’autre par \begin{align*} \frac{d}{dx}\left( e^{\frac{x^2}{4}}f(x)\right)= \left(f'(x)+\frac{x}{2}f(x)\right) e^{\frac{x^2}{4}}=0.\end{align*} En déduit alors que $f(x)=Ce^{\frac{-x^2}{4}}$. On a alors $f(0)=C=\sqrt{\pi}$. Finalement, \begin{align*} f(x)=\sqrt{\pi}e^{-\frac{x^2}{4}}, \quad x\in\mathbb{R}.\end{align*}