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Intégrale de Gauss

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Le but de cet article est de donner deux méthodes pour calculer les valeurs de l’intégrale de Gauss. C’est une intégrale généralisée qui apparaît dans plusieurs applications en mathématiques et en physique.

Intégrale de Gauss: On a \begin{align*}\label{$\ast$} \int^{+\infty}_0 e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}.\end{align*}

Calcul de l’intégrale Gauss par application de l’intégrale de Wallis

Avant de commencer nous voudrions rappeler un résultat sur les intégrales de Wallis. La suite des intégrales de Wallis est donnée par \begin{align*} \omega_n=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^{n}(x)dx,\quad n\in\mathbb{N}.\end{align*} On a alors \begin{align*} \omega_n \underset{n\infty}{\sim}\sqrt{\frac{\pi}{2n}}.\end{align*} Maintenant montrons la relation ($\ast$). Il est facile de voir que $\ln(1+x)\le x$ pour tout $x\in ]-1,+\infty[$. Par application des cette inégalité, pour tout $t\in [0,\sqrt{n}]$ on a \begin{align*} \ln\left(1-\frac{t^2}{n}\right)\le -\frac{t^2}{n}\quad\text{et}\quad \ln\left(1+\frac{t^2}{n}\right)\le \frac{t^2}{n}.\end{align*} On déduit que \begin{align*} \ln\left(1-\frac{t^2}{n}\right)^n\le -t^2\le \ln\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-n}.\end{align*} Puisque la fonction exponentielle est croissante, on a pour tout $t\in ]0,\sqrt{n}],$ \begin{align*}\left(1-\frac{t^2}{n}\right)^n\le e^{-t^2}\le \left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-n}.\end{align*} Cela implique (par croissance de l’intégrale), \begin{align*}\int^{\sqrt{n}}_0\left(1-\frac{t^2}{n}\right)^ndt\le \int^{\sqrt{n}}_0e^{-t^2}dt\le \int^{\sqrt{n}}_0\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-n}dt.\end{align*} On fait le changement de variable $t=\sqrt{n}\cos(u)$ dans lintegrale agauche et le changement de variable $t=\sqrt{n}{\rm cotan}(u),$ dans i’integrale adroite, on trouve pour tout $n\ge 2,$\begin{align*}\sqrt{n}\;\omega_{2n+1}\le \int^{\sqrt{n}}_0e^{-t^2}dt\le \sqrt{n}\;\omega_{n-2}.\end{align*} On a aussi par le rappel en haut, $\sqrt{n}\;\omega_{2n+1}\to \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ et $\sqrt{n}\;\omega_{n-2}\to \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ quand $n\to+\infty$. Maintenant le résultat découle par le principe des gendarmes.

Remarque: Il existe plusieurs méthodes pour calculer l’intégrale de Gauss. Vous pouvez consulter une méthode qui utilise le théorème de Fubini et une autre qui est basée sur l’intégrale dépendant d’un paramètre.

Pour plus d’informations sur le mathématicien Gauss, vous pouvez consulter sa bibliographie (Carl Gauss).

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