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Théorème d’Abel pour les séries entières

Nous proposons des applications du théorème d’Abel pour les séries entières. Ce théorème donne des informations sur la somme d’une série entière à l’intérieur du disque de convergence. On rappel que Niels Henrik Abel (1802-1829) est un mathématicien norvégien.

Rappel sur le théorème d’Abel

Voici l’énoncer du théorème d’Abel pour les séries entières. Il est aussi appelé théorème d’Abel non tangentiel.

Théorème: Soit $f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R\in ]0,+\infty[$. On suppose que $\sum_{n=0}^{\infty}a_n z_0)^n$ converge pour un $z_0$ de module $R$. Soit $\varphi\in [0,\frac{\pi}{2}[,$ $\rho\in [0,2R\cos(\varphi)[$ et $\Delta(z_0,\rho,\varphi)$ la portion du secteur de $\overline{D}(0,R)$ definie par \begin{align*} \Delta(z_0,\rho,\varphi):=\left\{z: z=z_0(1-re^{i\theta})\;\text{avec}\;0\le r\le \rho,\;|\theta|\le \varphi\right\}.\end{align*} Alors la serie $\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n$ converge normalement sur $ \Delta(z_0,\rho,\varphi)$. En particulier on a convergence uniforme de la série sur le segment $[0,z_0]$.

En particulier $f$ est continue sur $\Delta(z_0,\rho,\varphi)\cup\{z_0\}$.

Cas réel du théorème: Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ une série entière de rayon de convergence $R$. On suppose que $\sum_{n=0}^{\infty}a_n R^n$ est convergente. Alors $f$ est continue sur $[0,R]$.

Applications du théorème d’Abel pour les séries entières

Exercice: Montrer que \begin{align*} \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nt)}{n}=\frac{\pi-t}{2},\quad t\in ]0,2\pi[.\end{align*}