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Résumé de cours sur les familles sommables

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On propose un résumé de cours sur les familles sommables et applications. Pour plus d’entrainement sur les familles sommable voir le poste exercices sur les familles sommables.

Dans toute la suite on note par $I$ un ensemble d’indice dénombrable sur lequel nous allons sommer, appelè domaine de sommation.

Résumé de cours sur les familles positives

On fixe une famille $(u_i)_{i\in I}$ avec $u_i\in [0,+\infty]$ pour tout $i$.

Définition: La famille $(u_i)_{i\in I}$ est dite sommable si l’ensemble suivant est une partie de $\mathbb{R}$ majorée: \begin{align*}\left\{ \sum_{i\in J}u_i: J\subset I,\quad J \;\text{fini}\right\}\end{align*}. Dans ce cas, la borne supérieure de cet ensemble est appelé la somme de la famille $(u_i)_{i\in I}$. Par convention, si la famille n’est pas sommable sa somme sera notée $+\infty$. Dans tous les cas, la somme de la famille $(u_i)_{i\in I}$ sera notée \begin{align*}\sum_{i\in I} u_i\quad\text{où}\quad \sum_{I} u_i. \end{align*}

Remarque: Quand $I=\mathbb{N},$ la famille $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est sommable si la série $\sum_{n}u_n$ est convergente.

Théorème (sommation par paquets): Soit $I$ un ensemble d’indice et $(I_p)_p$ une partition de $I$. Soit $(u_i)_{i\in I}$ une famille de réels positifs. Alors $(u_i)_{i\in I}$ est sommable si et seulement si $(u_i)_{i\in I_p}$ et sommable et la série  $\sum_p \sum_{i\in I_p}u_i$ est convergente.

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