Nous proposons des exercices corrigés sur le calcul algébrique. En effet, on démontre des relations algébriques connues, sommes, produits, équations, détermination d’ensembles.
Table des matières
Calcul algébrique: ensembles
Exercice 1: Déterminer les ensembles suivants:
\begin{align*} A&=\{x\in\mathbb{R}: x^2\le 2\}\cr B&=\left\{x\in \mathbb{R}^\ast: \frac{1}{|x|}>1\right\}\cr C&=\bigcap_{n\in\mathbb{N}^\ast}\left[-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right]\end{align*}.
Solution: $x\in A$ si et seulement si $|x|^2=x^2\le 2$. Donc $|x|\le \sqrt{2}$, ou encore $-\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}$. Ainsi $A=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$.
$x\in B$ signifie que $x\in \mathbb{R}^\ast$ et $|x|<1$. Donc $x\in \mathbb{R}^\ast \cap ]-1,1[=]-1,0[\cup ]0,1[$. Ainsi \begin{align*} B=]-1,0[\cup ]0,1[.\end{align*}
$x\in C$ équivalent à $-\frac{1}{n}\le x\le \frac{1}{n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$. En faisant tendre $n$ vers $+\infty,$ en déduit que $x=0$. Donc $C=\{0\}$.
Exercice: Si $x,y\in\mathbb{R},$ on définit la distance entre $x$ et $y$ par $d(x,y)=|x-y|$. Un intervalle ouvert dans $\mathbb{R}$ de centre $x$ et de rayon $\varepsilon$ est l’ensembe $I(x,\varepsilon):=\{y\in \mathbb{R}:d(x,y)<\varepsilon\}$. Maintenant, on definit la meme distance sur $\mathbb{Z}$. Determinter l’intervalle ouvert dans $\mathbb{Z}$ de centre $k\in\mathbb{Z}$ et de rayon $1$.
Solution: On a \begin{align*} I(k,1)=\left\{ q\in \mathbb{Z}: 0\le d(k,p)<1\right\}.\end{align*} Soit $q\in I(k,1)$. Comme $d(k,p)=|k-q|\in\mathbb{N}$ et $0\le d(k,p)<1,$ alors forcément $|k-q|=0,$ ce qui donne $q=k$. Ainsi pour tout $k\in\mathbb{Z},$ on a $I(k,1)=\{k\}$.
Calcul algébrique: sommes géométriques
Exercice: Soient $n$ et $p$ deux nombres naturels. Simplifier la somme suivante \begin{align*} A=3^{n}+3^{n+1}+\cdots +3^{n+p}.\end{align*}
Solution: En factorisant par $3^n$, on trouve \begin{align*} A=3^{n}(1+3+3^{2}+\cdots +3^{p}).\end{align*} Or on sait que $1+3+3^{2}+\cdots+3^p=\frac{3^{p+1}-1}{3-1}$. Donc \begin{align*} A= \frac{3^n}{2}(3^{p+1}-1)=\frac{3^{n+p+1}-3^n}{2}.\end{align*}
Exercice: Soit $(u_n)_n$ une suite de nombres réels telle qu’il existe un réel $\gamma\in ]0,1[$ tel que $|u_{n+1}-u_n|\le \gamma^n$ pour tout $n$. Montrer que pour tout $p,q\in\mathbb{N}$ ($q>p$) on a \begin{align*} |u_q-u_p|\le \frac{\gamma^p}{1-\gamma}.\end{align*}
Solution: Selon l’hypothèse on sait estimer la distance entre deux termes successifs de la suite. Le but de l’exercice est de donner une estimation de la distance entre deux termes quelconques de la suite. Soient $u_p$ et $u_q$ deux termes de la suite avec $q>p$. L’idée est de majorer la distance $|u_q-u_p|$ par une somme des distances des termes successifs de la suite. On écrit, \begin{align*} u_q-u_p&=(u_q-u_{q-1})+(u_{q-1}-u_{q-2})+\cdots+(u_{q-(q-p-1)}-u_p)\cr &=(u_q-u_{q-1})+(u_{q-1}-u_{q-2})+\cdots+(u_{p+1}-u_p).\end{align*}Ainsi \begin{align*} |u_q-u_p|&\le |u_q-u_{q-1}|+|u_{q-1}-u_{q-2}|+\cdots+|u_{p+1}-u_p| \cr & \le \gamma^{q-1}+\gamma^{q-2}+\cdots+\gamma^p\cr & = \gamma^p \left( \gamma^{q-p-1}+\gamma^{q-p-2}+\cdots+\gamma+1\right)\cr &= \gamma^p \frac{1-\gamma^{q-p}}{1-\gamma}\cr & \le \frac{\gamma^p}{1-\gamma},\end{align*} puisque $0<1-\gamma^{q-p}<1$.
Coefficients de Binome
Exercice: Montrer que \begin{align*} 2^n=\sum_{k=0}^n (\begin{smallmatrix}n\\ k\end{smallmatrix}),\quad \text{et}\quad\sum_{k=0}^n (\begin{smallmatrix} n\\ k\end{smallmatrix}) (-1)^k=0, \end{align*} avec \begin{align*}(\begin{smallmatrix}n\\ k\end{smallmatrix})=\frac{n!}{k! (n-k)!}.\end{align*}
Solution: La formule du binôme nous dit que pour $a,b\in\mathbb{R},$ on a \begin{align*} (a+b)^n=\sum_{k=0}^n (\begin{smallmatrix}n\\ k\end{smallmatrix}) a^k b^{n-k}.\end{align*} Il suffit donc de prendre $a=b=1$ pour la première égalité et $a=-1$ et $b=1$ pour la deuxième égalité.
Exercice: 1- Prouver que pour tout entiers $n\ge p\ge k,$ on a \begin{align*} (\begin{smallmatrix} n\\ k\end{smallmatrix}) (\begin{smallmatrix} n-k\\ p-k\end{smallmatrix})=(\begin{smallmatrix} p\\ k\end{smallmatrix})(\begin{smallmatrix} n\\ p\end{smallmatrix}).\end{align*} 2- Déterminer \begin{align*} A=\sum_{k=0}^p (\begin{smallmatrix} n\\ k\end{smallmatrix}) (\begin{smallmatrix} n-k\\ p-k\end{smallmatrix}).\end{align*}
Solution: 1- D’une part, on a \begin{align*} (\begin{smallmatrix} n\\ k\end{smallmatrix}) (\begin{smallmatrix} n-k\\ p-k\end{smallmatrix})&=\frac{n!}{k! (n-k)!} \frac{(n-k)!}{(p-k)! ((n-k)-(p-k))!}\cr & =\frac{n!}{k! (p-k)!(n-p)!}.\end{align*} D’autre part, \begin{align*} (\begin{smallmatrix} p\\ k\end{smallmatrix})(\begin{smallmatrix} n\\ p\end{smallmatrix})&=\frac{p!}{k! (p-k)!} \frac{n!}{p! (n-p)!} \cr & =\frac{n!}{k! (p-k)!(n-p)!}.\end{align*} D’où l’égalité.
2- On a \begin{align*} \sum_{k=0}^p (\begin{smallmatrix} n\\ k\end{smallmatrix}) (\begin{smallmatrix} n-k\\ p-k\end{smallmatrix})&= (\begin{smallmatrix} n\\ p\end{smallmatrix})\sum_{k=0}^p (\begin{smallmatrix} p\\ k\end{smallmatrix})\cr &= (\begin{smallmatrix} n\\ p\end{smallmatrix}) 2^p, \end{align*} d’après l’exercice précèdent.
