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Lemme de Gronwall

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Le but de cette section est d’énoncer et de prouver le lemme de Gronwall. Ce résultat est très important dans l’estimation des équations intégrales, en particulier liées aux solutions des équations différentielles non linéaires.

Énoncé du lemme de Gronwall

Théorème (lemme de Gronwall): Soit $\varphi:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction continue et positive telle qu il existent deux constantes réelles positives $A$ et $B$ tel que \begin{align*} \varphi(t)\le A+B \int^t_0\varphi(s)ds,\quad \forall t.\end{align*} Alors \begin{align*} \varphi(t)\le A e^{Bt},\quad \forall $t\ge 0.\end{align*}

Solution: On pose \begin{align*}F(t)=A+B\int^t_0 \varphi(s)ds \end{align*} Cette fonction est une primitive de la fonction continue $\varphi$, donc $F$ est une fonction de classe $C^1$ est que $F'(t)=B\varphi(t)$ pour tout $t$. Observe that $\varphi(t)le F(t),$ et par suite $B\varphi(t)\le BF(t),$ car $B$ est positive. D’où \begin{align*} F'(t)\le BF(t)\end{align*}En multipliants les deux cotés par $e^{-B t}$ on trouve \begin{align*}e^{-Bt}(F'(t)- BF(t))\le 0. \end{align*}Mais \begin{align*} \frac{d}{dt}\left( e^{-Bt} F(t) \right)=e^{-Bt}(F'(t)- BF(t))\le 0.\end{align*} En intégrant entre $0$ et $t$ on a \begin{align*} \left[ e^{-Bs} F(s)\right]^{s=t}_{s=0}\le 0.\end{align*} Ceci donne $e^{-Bt} F(t)-F(0)le 0$. Comme $F(0)=A$, alors $e^{-Bt} F(t)\le A$, et par suite $F(t)\le A e^{Bt}$. D’où le résultat puisque $$\varphi(t)\le F(t).$$

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