Lemme de Gronwall

On pose \begin{align*}F(t)=A+B\int^t_0 \varphi(s)ds \end{align*} Cette fonction est une primitive de la fonction continue $\varphi$, donc $F$ est une fonction de classe $C^1$ est que $F'(t)=B\varphi(t)$ pour tout $t$. Observe that $\varphi(t)le F(t),$ et par suite $B\varphi(t)\le BF(t),$ car $B$ est positive. D’où \begin{align*} F'(t)\le BF(t)\end{align*}En multipliants les deux cotés par $e^{-B t}$ on trouve \begin{align*}e^{-Bt}(F'(t)- BF(t))\le 0. \end{align*}Mais \begin{align*} \frac{d}{dt}\left( e^{-Bt} F(t) \right)=e^{-Bt}(F'(t)- BF(t))\le 0.\end{align*} En intégrant entre $0$ et $t$ on a \begin{align*} \left[ e^{-Bs} F(s)\right]^{s=t}_{s=0}\le 0.\end{align*} Ceci donne $e^{-Bt} F(t)-F(0)le 0$. Comme $F(0)=A$, alors $e^{-Bt} F(t)\le A$, et par suite $F(t)\le A e^{Bt}$. D’où le résultat puisque $$\varphi(t)\le F(t).$$

1. Soit la fonction $f:[0,+\infty[\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definie par $f(t,x)=-2x+\sin(t)\arctan(x)$. cette fonctinue est continue sur $U:=[0,+\infty[\times \mathbb{R}$. De plus pour tout $(t,x),(t,y)\in U$, $$ |f(t,x)-f(t,y)|=2|x-y|+|\sin(t)| |\arctan(x)-\arctan(y)|.$$ On a $|\sin(t)|\le 1$, et par l’inégalité des accroissements finis, en déduisant que $$ |f(t,x)-f(t,y)|\le 3 |x-y|,$$ ce qui montre que la fonction $g$ est globalement lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable. Maintenant par le theoreme de Cauchy-Lipschitz globale, notre equation admet une solution globale unique $([0,+\infty[,u)$.
2. D’autre part, $$ \frac{d}{ds}( e^{2s} u(s))=e^{2s} \sin(s)\arctan(u(s)).$$ En intégrant entre $0$ et $t$, on trouve $$e^{2t} u(s))=1+\int^t_0 e^{2s} \sin(s)\arctan(u(s))ds.$$ En passe a la valeur absolu, en utilisant le fait que $|\arctan(x)|\le \frac{\pi}{2}$, et en applique le Lemme de Gronwall, on trouve \begin{align*}|e^{2t} u(t))|&\le 1+ \frac{\pi}{2}\int |e^{2s} u(s))|ds\cr & \le e^{\frac{\pi}{2} t}.\end{align*} Ainsi $$ |u(t)|\le e^{-\left(2-\frac{\pi}{2}\right)t},\quad \forall t\ge 0.$$ Comme $2-\frac{\pi}{2}>0$, alors $|u(t)|\to 0$ quand $t\to +\infty$.