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Théorème de Bolzano-Weierstrass

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Parmi les théorèmes de compacité dans l’ensemble des nombres réels, on trouve le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce théorème est la clé de preuve de plusieurs théorèmes classiques en analyse mathématique.

Énoncé du théorème de Bolzano-Weierstrass

Définition: Soit $(x_n)_n$ une suite de nombres réels. Tout suite de la forme $(x_{\varphi(n)})_n$, avec $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ strictement croissante, est appelé une sous-suite de $(x_n)_n$.

Il est facile de voir que si $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ strictement croissante, alors $\varphi(n)\ge n$ pour tout $n$. Ce résultat implique si la suite $x_n\to \ell$ alors de même pour la sous-suite $x_{\varphi(n)}\to \ell$ quand $n\to\infty$.

Example se sous-suite: $(x_{2n})_n$, $(x_{2n+1})_n$ $(x_{n+1})_n$, $(x_{n^2})_n$…..Il est à noter que toute suite admet une infinité de sous-suites.

Remarque: Si une suite $(u_n)_n$ est convergente, alors il est bornée, donc il existe $M>0$ tel que $|u_n|\le M$ pour tout $n$. Le sens inverse n’est toujours vrai, car il existe des suites bornées mais ne sont pas convergentes. Par exemple la suite $u_n=(-1)^n$ et $v_n=\sin(n)$ sont bornées par 1, mais elles n’ont pas de limites.

Le théorème suivant (très important en analyse réelle) donne des informations sur les suites qui sont bornées. En général, la suite $(u_n)$ n’a pas besoin d’être convergente, il suffit qu’une de ses suites soit convergente.

Théorème de Bolzano-Weierstrass: De toute suite bornée on peut extraire une sous-suite convergente. Autrement dit si $(x_n)_n\subset \mathbb{R}$ et si il existe $M\ge 0$ tel que $|x_n|\le M$ pour tout $n,$ alors il existe $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ strictement croissante et il existe $\ell\in\mathbb{R}$ tel que $x_{\varphi(n)}\to \ell$ quand $n\to\infty$.

Exercices sur le théorème de Bolzano-Weierstrass

Exercice 1: Soit $(u_n)_{n\ge 0}$ une suite de nombre réels non majorée. Montrer qu’on peut en construire une sous suite strictement croissante tendent vers $+\infty$.

Solution: Le fait que $(u_n)_{n\ge 0}$ une suite non majorée implique que la suite tronquée $(u_n)_{n\ge n_0}$ est aussi non majorée pour tout $n_0\in\mathbb{N}$. Nous allons donc utiliser cette observation pour construire la sous-suite qui répond à la question de l’exercice.

On rappelle qu’une suite est non majorée si pour tout $M\in \mathbb{R}$, il existe $n’\in\mathbb{N}$ tel que $u_{n’}>M$.

Pour $M=0,$ il existe $n_1\in\mathbb{N}$ tel que $u_{n_0}>0$.

Comme la suite $(u_n)_{n\ge n_0}$ est aussi non majorée, alors pour $M=u_{n_0},$ il existe $n_1>n_0$ tel que $u_{n_1}>u_{n_0}$.

Comme la suite $(u_n)_{n\ge n_1}$ est aussi non majorée, alors pour $M=u_{n_1},$ il existe $n_2>n_1$ tel que $u_{n_2}>u_{n_1}$.

Ainsi pour tout $k,$ on sait construire $n_{k-1}$ et si on prend $M=u_{n_{k-1}}$, alors il existe $n_k>n_{k-1}$ et $u_{n_k}>u_{n_{k-1}}$.

Ainsi on a construit une fonction strictement croissante $\varphi:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ telle que $\varphi(k)=n_k$ et $u_{\varphi(k+1)}>u_{\varphi(k)}$, pour tout entier $k\in\mathbb{N}$. Donc la sous-suite $(u_{\varphi(k)})_{k}$ est strictement croissante, de plus elle est non majorée (car la suite $(u_n)$ est non majorée), alors $u_{\varphi(k)}\to+\infty$ qunad $k\to+\infty$.

Bibliographie de Bolzano et Weierstrass

Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897) Mathématicien allemand, père de l’analyse moderne. Né à Ostenfelde d’un fonctionnaire du gouvernement de Paderborn, le jeune Wilhelm a montré une aptitude pour les mathématiques mais son père voulait qu’il suive ses traces vers une carrière dans la fonction publique. Le fils est allé à l’Université de Bonn pour étudier le droit et l’économie, mais a concentré son attention sur les mathématiques au lieu d’ignorer les exigences que son père voulait qu’il obtienne. Wilhelm a quitté Bonn pour Münster et a étudié en profondeur les fonctions elliptiques. Après avoir été nommé président d’une université à Berlin, Wilhelm Weierstrass a prouvé la notion fondamentale du calcul de la limite, reprenant les résultats oubliés de Bernard Bolzano dans le célèbre théorème de Bolzano-Weierstrass.

Bernard Bolzano (1781-1848) né à Prague. Cependant, sa langue et sa culture sont l’allemand.

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