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Théorème de Bolzano-Weierstrass

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Parmi les théorèmes de compacité dans l’ensemble des nombres réels, on trouve le théorème de Bolzano-Weierstrass. Ce théorème est la clé de preuve de plusieurs théorèmes classiques en analyse mathématique.

Énoncé du théorème de Bolzano-Weierstrass

Définition: Soit $(x_n)_n$ une suite de nombres réels. Tout suite de la forme $(x_{\varphi(n)})_n$, avec $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ strictement croissante, est appelé une sous-suite de $(x_n)_n$.

Il est facile de voir que si $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ strictement croissante, alors $\varphi(n)\ge n$ pour tout $n$. Ce résultat implique si la suite $x_n\to \ell$ alors de même pour la sous-suite $x_{\varphi(n)}\to \ell$ quand $n\to\infty$.

Example se sous-suite: $(x_{2n})_n$, $(x_{2n+1})_n$ $(x_{n+1})_n$, $(x_{n^2})_n$…..Il est à noter que toute suite admet une infinité de sous-suites.

Théorème de Bolzano-Weierstrass: De toute suite bornée on peut extraire une sous-suite convergente. Autrement dit si $(x_n)_n\subset \mathbb{R}$ et si il existe $M\ge 0$ tel que $|x_n|\le M$ pour tout $n,$ alors il existe $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ strictement croissante et il existe $\ell\in\mathbb{R}$ tel que $x_{\varphi(n)}\to \ell$ quand $n\to\infty$.

Bibliographie de Bolzano et Weierstrass

Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897) Mathématicien allemand, père de l’analyse moderne. Né à Ostenfelde d’un fonctionnaire du gouvernement de Paderborn, le jeune Wilhelm a montré une aptitude pour les mathématiques mais son père voulait qu’il suive ses traces vers une carrière dans la fonction publique. Le fils est allé à l’Université de Bonn pour étudier le droit et l’économie, mais a concentré son attention sur les mathématiques au lieu d’ignorer les exigences que son père voulait qu’il obtienne. Wilhelm a quitté Bonn pour Münster et a étudié en profondeur les fonctions elliptiques. Après avoir été nommé président d’une université à Berlin, Wilhelm Weierstrass a prouvé la notion fondamentale du calcul de la limite, reprenant les résultats oubliés de Bernard Bolzano dans le célèbre théorème de Bolzano-Weierstrass.

Bernard Bolzano (1781-1848) né à Prague. Cependant, sa langue et sa culture sont l’allemand.

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