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Démonstration de la formule de Stirling

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Notre but est de donner la démonstration de la formule de Stirling. La preuve de cette formule est basée sur les intégrales de Wallis. L’importance de la formule de Stirling est qu’elle donne un équivalent de $n!$ ($n$ factorielle) puisqu’il est difficile de calculer ce nombre si $n$ est assez grand. Cette formule est due au mathématicien écossais James Stirling.

La démonstration de la formule de Stirling

avant de donner la démonstration de la formule de Stirling on a besoin du résultat technique suivant:

Exercice: Montrer que la suite suivante \begin{align*} u_n=\frac{n!e^n}{n^n\sqrt{n}},\quad n\in\mathbb{N}\end{align*} est convergente.

Solution: On pose $v_n=\ln(u_{n+1})-\ln(u_n)$. Dans un premier temps, nous montrons que la série $\sum_n v_n$ est convergente. Notez que $v_n=\ln\left(u_{n+1}/u_n\right)$. Maintenant en calcul \begin{align*}\frac{u_{n+1}}{u_n}&=\frac{n^n}{(n+1)^n} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\;e \cr&= \frac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\frac{1}{2}}}.\end{align*} Donc en déduit que \begin{align*} v_n&=1-\left(n+\frac{1}{2}\right) \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\cr &= 1- \left(n+\frac{1}{2}\right)(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}+O(\frac{1}{n^3}))\cr &= -\frac{1}{12 n^2}+O(\frac{1}{n^2}).\end{align*} Cela implique que la série de terme general $v_n$ converge vers $S\in \mathbb{R}$. En particulier, la suite des sommes partielles $S_n=v_1+v_2+\cdots+v_n=\ln(u_{n+1})-\ln(u_1)\to S$ quand $n\to+\infty$. Donc $\ln(u_n)\to 1+S$ quand $n\to+\infty.$ Par suite, on a $u_n\to e^{1+S}:=\ell$ quand $n\to\infty$.

Maintenant on peut donner la preuve de la formule de Stirling.

Formule de Stirling: On a l’équivalence suivante \begin{align*} n!\sim n^n e^{-n}\sqrt{2\pi n}\quad (n\to\infty).\end{align*} Preuve: D’après le résultat de l’exercice précédent, il existe $\ell\in\mathbb{R}$ tel que \begin{align*} n!\sim \ell n^n e^{-n}\sqrt{n}.\end{align*} Maintenant, nous calculons $\ell$. Pour cela nous utiliserons les résultats sur les intégrales suivantes\begin{align*} \omega_n=\int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sin^n(t)dt,\quad n\in\mathbb{N},\end{align*} appelées les intégrales de Wallis. En effet, on sait que \begin{align*}\omega_{2n}=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\frac{\pi}{2},\quad \omega_{2n+1}=\frac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)!}.\end{align*} De plus on a $\omega{2n+1}\sim \omega_{2n}$. En utilisant $n!\sim\ell n^n e^{-n}\sqrt{n}$, on montre facilement que \begin{align*} 1\sim \frac{\omega_{2n+1}}{\omega_{2n}}\sim \frac{\ell^2 n^2}{2n^2+n}\frac{1}{\pi}\sim \frac{\ell^2}{2\pi}.\end{align*} On en déduit alors $\ell=\sqrt{2\pi}$. Ceci achève la preuve.

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