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Transformation de Fourier et applications

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Nous proposons un aperçu des propriétés sur la transformation de Fourier et applications. En effet, l’une des propriétés de Fourier est de transformer les opérateurs différentiels en opérateurs de multiplication. Par exemple, cela aidera à transformer des équations différentielles partielles en équations différentielles ordinaires. De plus, nous traitons l’équation de la chaleur et l’équation des ondes par ma méthode de Fourier.

Définition de la transformé de Fourier

Soit $f\in L^1(\mathbb{R})$. Alors pout tout $t,x\in\mathbb{R}$ on a $|e^{-itx}f(x)|=|f(x)|$. Ce qui montrer que l’application $x\mapsto e^{-itx}f(x)$ est intégrable, et donc on peut définir l’intégrale suivantes\begin{align*}\mathscr{F}f(t)=\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-itx}f(x)dx,\qquad t\in\mathbb{R}.\end{align*}On dit $\mathscr{F}f$ est la transformé de $f$. Il faut noter aussi que\begin{align*}|\mathscr{F}f(t)|le |f|_{L^1},\qquad \forall t\in\mathbb{R}.\end{align*}

Exercice: On note par\begin{align*}\mathcal{C}_0(\mathbb{R}):=\left\{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, | \; \lim_{t\to\pm\infty} f(t)=0\right\}.\end{align*}Montrer que pour tout $f\in L^1(\mathbb{R})$ on a $\mathscr{F}f\in \mathcal{C}_0(\mathbb{R})$.

Solution: Tout d’abord, montrons que $\mathscr{F}f$ est nul à l’infini. En effet, on sait que $\mathcal{C}_c^1(\mathbb{R}),$ l’ensemble des fonctions de classes $C^1$ à support compact, est dense dans $L^1(\mathbb{R})$. Donc pour $f\in \mathcal{C}_c^1(\mathbb{R}),$ et pour $t\neq 0,$ une intégration par parties nous donne\begin{align*}\mathscr{F}f(t)=\frac{1}{it}\int^{+\infty}_{-\infty}e^{-itx}f'(x)dx.\end{align*}Alors \begin{align*}|\mathscr{F}f(t)|\le \frac{1}{|t|}\|f’\|_{L^1},\qquad \forall t\in\mathbb{R}.\end{align*}Ce qui implique que $\mathscr{F}f(t)\to 0$ quand $|t|\to \infty.$

Maintenant, si $f\in L^1(\mathbb{R}),$ par densité, il existe $(f_n)\subset \mathcal{C}_c^1(\mathbb{R})$ tel que $\|f_n-f\|_{L^1}\to 0$ quand $n\to\infty$. Et donc pour tout $\varepsilon > 0,$ il existe $n_0\in\mathbb{N}$ tel que $\|f_n-f\|_{L^1}\le \frac{\varepsilon}{2}$. Comme $\mathscr{F}$ est un application linéaire, on a\begin{align*}\mathscr{F}(f)(t)= \mathscr{F}(f_{n_0})(t)+ \mathscr{F}(f-f_{n_0})(t).\end{align*}

Par suite \begin{align*}|\mathscr{F}(f)(t)|&\le |\mathscr{F}(f_{n_0})(t)|+ |\mathscr{F}(f-f_{n_0})(t)|\cr & \le \frac{1}{|t|} \|f’_{n_0}\|_{L^1}+\|f-f_{n_0}\|_{L^1}\cr & \le \frac{1}{|t|}\|f’_{n_0}\|_{L^1}+\frac{\varepsilon}{2}.\end{align*} Soit $A=\frac{2}{\varepsilon}\|f’_{n_0}\|_{L^1}$. Alors pour $|t|\ge A$ on a $|\mathscr{F}(f)(t)|\le \varepsilon$.

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