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Théorème de Hahn-Banach et ses corollaires

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On propose des applications du théorème de Hahn-Banach et ses corollaires. En fait des applications de prolongement des formes linéaires. Ce théorème est l’un les plus utilisé dans l’analyse fonctionnelle moderne.

Un résume sur le théorème de Hahn-Banach et ses corollaires

Sous norme: Soit $E$ un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ qui est $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Une sous norme est une application $p:E\to [0,+\infty[$ telle que pour tout $x,y\in E$ et $\lambda\in \mathbb{K}$ on a \begin{align*}p(\lambda x)=|\lambda\|p(x),\; p(x+y)\le p(x)+p(y).\end{align*}

D’après cette définition, une sous norme $p$ est une norme si et seulement si on a « $p(x)$ équivalent à $x=0$ ».

Formes linéaires: Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé sur un corps $\mathbb{K}$. Toute application linéaire continue de $E$ dans $\mathbb{K}$ est appelé une forme linéaire sur $E$. L’espace des forme linéaire linéaire est $\mathcal{L}(E,\mathbb{K}):=E’$.

Théorème de Hahn Banach: Soit $E$ un $K$-espace vectoriel $F$ un sous-espace de $E$, et $f$ une forme linéaire sur $F$. Alors on a

  • Si $K=\mathbb{R}$ et si $p$ est une sous-norme sur $E$ avec $f(x)\le p(x)$ pour tout $x\in F,$ il existe une forme linéaire $g$ sur $E$ avec $g_{|F}=f$ et $g(x)\le p(x)$ pour tout $x\in E$.
  • Si $K=\mathbb{C}$ et si $p$ est une sous-norme sur $E$ avec $|f(x)|\le p(x)$ pour tout $x\in F,$ il existe une forme linéaire $g$ sur $E$ avec $g_{|F}=f$ et $g(x)\le p(x)$ pour tout $x\in E$.
  • Si $K=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C},$ et $f\in F’,$ $f$ admet un prolongement $g\in E’$ avec $\|g\|=\|f\|$.

Exercice: On pose $E=\ell^{\infty}(\mathbb{N})$ (espace de Banach réel des fonctions $f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$ tel que $\sup_n |f(n)|< \infty$.) Soit le sous-espace de $E:$ \begin{align*}M=\left\{f\in E: \lim_{n\to \infty} \frac{f(0)+\cdots+f(n)}{n+1}=\ell(f)\right\}\end{align*}De plus on défini \begin{align*}p:E \to \mathbb{R},\quad p(f)=\overline{\lim}_{n\to\infty}f(n).\end{align*}Soit l’opérateur\begin{align*}T:E \to E, \quad Tf(n)=f(n+1),\;n\in\mathbb{N}.\end{align*}

  1. Montrer que $p$ est une sous-norme sur $E,$ et que $\ell(f)\le p(f)$ si $f\in M$.
  2. Montrer qu’il existe une forme linéaire continue $L$ sur $E$ avec les propriété suivantes: (i) $L(Tf)=L(f)$ et (ii) $\underline{\lim}f(n)\le L(f)\le \overline{\lim}f(n),$ pour tout $f\in E$.
  3. Montrer que $L\in\left(\ell^\infty\right)’$ ne provient pas d’un élément de $\ell^1,$ et qu’en particulier $\ell^1$ n’est pas réflexif.
  4. Utiliser $L$ pour démontrer le théorème de Nagy suivant: Soit $H$ un espace de Hilbert et $T\in\mathcal{L}(H,)$ $T$ est semblable à une isométrie si et seulement si il existe $a,b>0$ tels que $a \|x\|\le |T^n x|\le b\|x\|$, pour tout $x\in E$ et tout $n\in \mathbb{N}$.
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