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Topologie des espaces vectoriels normés

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La topologie est une branche importante des mathématiques modernes. Des exercices corrigés de topologie des espaces vectoriels normés sont ensuite proposés pour Math spé (classes préparatoires aux grandes écoles d’ingénieurs) et également pour la licence Mathématiques. La topologie générale considère normalement les propriétés locales des espaces et est étroitement liée à l’analyse. Voici quelques exemples de questions typiques en topologie : Combien y a-t-il de trous dans un objet ? Comment définir les trous d’un tore ou d’une sphère ? Quelle est la limite d’un objet ? Un espace est-il connecté ? Est-ce que toute fonction continue de l’espace à elle-même a un point fixe ?

Une sélection d’exercice de topologie des espaces vectoriels normés

Équivalence des normes dans un espace vectoriel normé

Ici on propose des exercices sur une partie importante de la topologie des espaces vectoriels normés qui est l’équivalence des normes.

Exercice: Soit $E$ l’espace vectoriel des suites bornées $(u_n)_n$ une de $\mathbb{R}$ avec terme initial $u_0=0$. On pose \begin{align*}\|u\|_\infty:=\sup_{n\ge 0}|u_n|,\quad\text{et}\quad N(u):=\sup_{n\ge 0} |u_{n+1}-u_n|.\end{align*}

  1. Montrer que $\|\cdot\|_\infty$ et $N(\cdot)$ sont deux normes sur $E$.
  2. Montrer que $\|\cdot\|_\infty$ est plue fine que $N(\cdot)$. Montrer que $\|\cdot\|_\infty$ et $N(\cdot)$ ne sont pas équivalentes.

Solution: 1- Soit la suite réelle $(u_n)$ dans $E$ telle que $\|u\|_\infty=0$. Comme pour tout $n\ge 0$ $|u_n|\le \|u\|_\infty,$ on a $|u_0|=0$ pour tout $n\ge 0,$ et donc $u=0$ (la suite nulle). De même Si $N(u)=0$ alors on a $|u_{n+1}-u_n|=0$ pour tout $nge 0$. Donc $u_{n+1}=u_n$ pour tout $n\ge 0,$. Ainsi $u$ est la suite constante, donc $u_n=u_0=0$ pour tout $n$. Soit $\lambda\in\mathbb{R}$, alors\begin{align*}&\|\lambda u\|_\infty:=\sup_{n\ge 0}|\lambda u_n|=|\lambda|\sup_{n\ge 0}|u_n|=|\lambda|\|u\|_\infty\cr
& N(\lambda u):=\sup_{n\ge 0} |\lambda(u_{n+1}-u_n)|=|\lambda|N(u).\end{align*} Soient $u=(u_n)$ et $v=(v_n)$ deux suites dans $E$. Alors\begin{align*}|u_n+v_n|\le |u_n|+|v_n|\le \|u\|_\infty+\|u\|_\infty,\qquad \forall n\ge 0.\end{align*} Ceci montrer que $ \|u\|_\infty+\|u\|_\infty$ est un majorant de $\{|u_n+v_n|:n\ge 0\}$. Comme le $\sup$ est le plus petit des majorants, on a $ |u+v|_\infty\le \|u\|_\infty+\|u\|_\infty$. De la même façon, \begin{align*}|(u_{n+1}+v_{n+1})-(u_n+v_n)|&= |(u_{n+1}-u_n)+v_{n+1}-v_n)|\cr & \le
|(u_{n+1}-u_n)|+|v_{n+1}-v_n)|\cr & \le N(u)+N(v).\end{align*}Donc $N(u+v)\le N(u)+N(v)$. Conclusion $|\cdot|_\infty$ et $N(\cdot)$ dont deux normes sur $E$.

2- Pour tout $u=(u_n)$ dans $E,$ on a \begin{align*}|u_{n+1}-u_n|\le |u_{n+1}|+|u_n|\le 2\|u\|_\infty.\end{align*}Ce qui implique que $N(u)\le 2 \|u\|_\infty$. Donc $|\cdot|_\infty$ est plue fine que $N(\cdot)$. Supposons que il existe $\kappa>0$ tel que $\|u\|_\infty\le \kappa N(u)$ pour tout $u\in E$. On prend la suite $u_n=n$. On a $N(u)=1$ et $\|u\|_\infty=+\infty$, absurde. Donc les deux normes $\|\cdot\|_\infty$ et $N(\cdot)$ ne sont pas équivalentes.

Exercice: Soit l’espace vectoriel normé $X=C([0,1])$ muni de la norme $\|f\|_\infty:=\sup_{s\in [0,1]}|f(s)|$. Soit $w\in X$ tel que $w>0$ et on pose $\|f\|_w:=\|wf\|_\infty$. Montrer que les normes $\|\cdot\|_\infty$ et $\|\cdot\|_w$ sont équivalentes.

Solution: D’une part, il est facile de voir que $\|\cdot\|_w$ est une norme sur $X$. D’autre part, comme $0<w\in X,$ alors $\delta:=\inf_{s\in [0,1]} w(s)>0$. Donc pour tout $f\in X,$ on a \begin{align*} \delta |f(s)|\le w(s)|f(s)|\le \|w\|_\infty \|f\|_\infty,\quad \forall s\in [0,1].\end{align*} En prenant le supremum sur $s ∈ [0, 1]$, on en déduire l’équivalence de $\|\cdot\|_\infty$ et $\|\cdot\|_w$.

Exercice: Soit l’espace vectoriel normé $X=C([0,1])$ muni de la norme $\|f\|_\infty:=\sup_{s\in [0,1]}|f(s)|$. On definit une autre norme sur $X$ par \begin{align*}\|f\|_1=\int^1_0 |f(s)|ds.\end{align*} Montrer que les normes $\|\cdot\|_\infty$ et $\|\cdot\|_1$ ne sont pas équivalentes.

Solution: Vérifier que $\|\cdot\|_1$ est une norme est laissé au lecteur. De plus il est facile de voire que $\|f\|_1\le \|f\|_\infty$ pour tout $f\in X$, donc la norme $\|\cdot\|_\infty$ est plus fin que $\|\cdot\|_1$. Cependant, ces normes ne sont pas équivalentes. En fait, soit la suite de fonctions \begin{align*} f(s)=\begin{cases}1-ns,& 0\le s\le \frac{1}{n},\cr 0,& \frac{1}{n}\le s\le 1.\end{cases}\end{align*} Pour tout $n$ on a $f_n\in X$. De plus un simple calcul montre que $\|f_n\|_1=\frac{1}{2n}$ et $\|f_n\|_\infty=1$. Donc $f_n\to 0$ pour la norme $\|\cdot\|_1$ mais $f_n$ ne tend pas vers $0$ pour la norme $\|\cdot\|_\infty$. Ce qui implique que ces normes ne sont pas équivalentes.

Parties ouvertes et fermées dans un espace vectoriel normé

Dans la topologie des espaces vectoriels normés les parties ouvertes et fermées jouent un rôle important. Nous allons introduire des exemples de parties ouverte, des parties fermées et des parties qui ne sont ni ouvertes ni fermées.

Exercice: Soit $X:=\mathscr{C}([0,1])$ l’espace vectoriel normé des fonctions continues sur $[0,1]$ muni de la norme uniforme $\|f\|_\infty:=\sup_{s\in [0,1]}|f(s)|$.

  1.  Soit $Y:=\{f\in X: f(0)=0\}$. Montrer que $Y$ est fermé dans $X$.
  2.  Soit $O:=\{f\in X: f(s)>0,\;\forall s\in [0,1]\}$. Montrer que $O$ est une ouvert dans $X$.
  3. Montrer que $F:=\{f\in X: f(s)>0,\;\forall s\in [0,1]\}$  est fermé dans $X$.
  4. Soit $D:=\{f\in X: f(0)>0\;\text{et}\;f(1)\ge 0\}$. Montrer que $D$ n’est ni ouvert ni fermé dans $X$.
  5.  On considère $N=\{f\in\mathscr{C}^1([0,1]):\|f’\|_\infty<\infty\}$. Monter que $N$ n’est pas fermé dans $X$.

Solution: 1- Soit $(f_n)_n\subset Y$ et $f\in X$ tel que $\|f_n-f\|_\infty\to 0$ quand $n\to\infty$. Donc $|f_n(0)-f(0)|\le \|f_n-f\|_\infty\to 0$ quand $n\to 0$. Comme $f_n(0)=0$, alors on a aussi $f(0)=0$. Alors $f\in Y,$ et donc $Y$ est fermé dans $X$.

2- Soit $f\in O$ alors $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ et continue et positive. D’après le théorème de Borel-Heine la fonction $f$ atteint son minimum en un point $s_0\in [0,1]$, autrement dit $\min_{s\in [0,1]}f(s) = f(s_0):=r>0$. Soit $g\in X$ telle que $\|f-g\|_\infty<r$ (i.e. $g\in B(f,r)$). Alors pour tout $s\in [0,1]$ on a \begin{align*}g(s)=f(s)+g(s)-f(s)\ge r-\|f-g\|_\infty>0.\end{align*} Ce qui implique que $g\in O$. On a alors montrer que pour tout $f\in O$ il existe $r>0$ tel que $B(f,r)\subset O$. Ainsi $O$ est un ouvert de $X$.

3- Soit $(f_n)_n\subset F$ qui converge vers une fonction $f$ pour la norme uniforme $\|\cdot\|_\infty$. Donc $f$ est continue et $f_n(s)\to f(s)$ pour tout $s\in [0,1]$ quand $n\to\infty$. Comme $f_n(s)\ge 0$ pour tout $s$ et $s$, alors aussi la limite $f(s)\ge 0$. D’où $f\in F,$ et pa conséquent $F$ est un fermé de $X$.

4- $D$ n’est pas fermé, car la suite $f_n=\frac{1}{n}1_{[0,1]}\in D$ et $f_n\to 0\notin D$. D’autre part $D$ n’est pas ouvert, car son complémentaire $D^c$ n’est pas fermé. En effet la suite $g_n$ definie par $g_n(s)=1-(1+\frac{1}{n})$ n’appartient pas a $D$ ($g_n \in D^c$ pour tout $n$), mais $g_n\to (s\mapsto 1-s)\in D$. Donc $D^c$ n’est pas fermé, et donc $D$ n’est un ouvert de $X$.

5- Soit $(f_n)_n\subset N$ définie par \begin{align*}f_n(s)=\sqrt{\left(s-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{n}},\quad s\in [0,1],\quad n\ge 1.\end{align*} Il est facile de montrer que $f_n\to f$ pour la norme $\|\cdot\|_\infty,$ avec $f(s)=|s-\frac{1}{2}|$. Mais $f\notin N$ car $f$ n’est pas dérivable en $\frac{1}{2}$. Donc $N$ n’est pas fermé  dans $X$.

Intérieur, fermeture, point adhérent, point d’accumulation, point isolé dans un espace vectoriel normé

Dans la topologie des espaces vectoriels normés, l’arête ou la frontière d’une partie est importante. Souvent dans le calcul des bornes, on se restreint aux points qui sont aux bords.

Exercice: Soit $E$ un espace vectoriel normé et soit $F$ convexe de $E$. Montrer que $\overline{F}$ est aussi convexe.

Solution: Soit $x,y\in \overline{F}$ et $t\in [0,1]$. Il existent deux suites $(x_n)_n\subset Y$ et $(y_n)_n\subset Y$ avec $x_n\to x,\; y_n\to y$. Comme $F$ est convexe, alors $tx_n+(1-t)y_n\in F$. De plus on a $$tx_n+(1-t)y_n\to tx+(1-t)y\quad (n\to\infty).$$ Donc  $tx+(1-t)y\in \overline{F}$. Ainsi $\overline{F}$ est convexe.

Exercice: Montrer que la frontière de l’ensembe des rationnels $\mathbb{Q}$ est égale a  $\mathbb{R},$ i.e. $\partial \mathbb{Q}=\mathbb{R}$.

Solution: Par définition de la frontière on a $\partial \mathbb{Q}=\overline{\mathbb{Q}}\backslash {\rm Int}(\mathbb{Q})$. Il faut remarquer que tout intervalle ouvert contient un irrationnel, donc aucun intervalle ouvert n’est contenu dans $\mathbb{Q}$. Par suite l’intérieur de $\mathbb{Q}$ est vide, i.e. ${\rm Int}(\mathbb{Q})=\emptyset$. Donc $\partial \mathbb{Q}=\overline{\mathbb{Q}}$. D’autre part on sait que $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ (car pour tout $x\in\mathbb{R}$, la suite des rationnels $x_n=\frac{[nx]}{n^2}$ converge vers $x$ quand $n\to\infty$). Donc $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R},$ ce qui implique que $\partial\mathbb{Q}=\mathbb{R}$.

Exercice: Soit $(\mathscr{C}([0,1]),\|\cdot\|_\infty)$ l’espace vectoriel normé des fonctions continues sur $[0,1]$. On note par $\mathscr{C}^k([0,1])$ l’espace des fonctions de classe $C^k$. Montrer que  $\mathscr{C}^k([0,1])$ est dense dans $\mathscr{C}([0,1])$, i.e. \begin{align*} \mathscr{C}([0,1])=\overline{\mathscr{C}^k([0,1])}^{\|\cdot\|_\infty}.\end{align*}

Solution: Soit $\mathscr{P}$ l’ensembe de tout les polynomes. Selon le théorème de Weierstrass $\mathscr{P}$ est dense dans $(\mathscr{C}([0,1]),\|\cdot\|_\infty)$. D’autre part, comme $\mathscr{P}\subset \mathscr{C}^k([0,1]),$ alors \begin{align*} \mathscr{C}([0,1])=\overline{\mathscr{P}}^{\|\cdot\|_\infty}\subset \overline{\mathscr{C}^k([0,1])}^{\|\cdot\|_\infty}\subset \mathscr{C}([0,1]).\end{align*}

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