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Espace de Lebesgue

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L’espace de Lebesgue des fonctions p intégrables est impliqué dans de nombreux modèles physiques et biologiques, tels que l’équation de la chaleur et la dynamique des populations. Ce dernier utilise l’espace des fonctions intégrables (espace $L^1$) comme espace des solutions. Nous donnons un rappel et aussi des exercices corrigés sur l’espace de Lebesgue $L^p(\mu)$ avec $p\in [1,+\infty[$ et $\mu$ une mesure positive sur un ensemble mesurable. La connaissance de la théorie de la mesure est souhaitable pour bien comprendre les propriétés de ce type d’espace vectoriel norméRech

L’espace de Lebesgue est un espace de Banach, Théorème deRiesz–Fischer

On commence par rappeler la constriction de l’intégrale de Lebesgue pour les fonctions mesurables.

Tribu Boréliennes

Dans cette partie, $S$ est un ensemble et $\mathcal{A}$ est une tribu sur $S$. On rappel que $\mathscr{P}(S):=\{A\;|\;A\subset S\}$ est une tribu sur $S$. Si de plus $S$ est un espace métrique et $\mathscr{O}(S)=\{O\subset S\;|\; O\;\text{ouvert}\}$, alors la petit tribu contenant $\mathscr{O}(S)$ est donnée par \begin{align*} \mathscr{B}(S)=\{A\;|\: A\in\mathcal{A},\; \forall \mathcal{A}\; \text{tribu}\; \mathcal{A}\supseteq \mathscr{O}(S)\}.\end{align*}La tribu $\mathscr{B}(S)$ est appelée la tribu boréliennes engendrée par $\mathscr{O}(S)$ (une tribu dans engendrée par des ouverts).

Un cas spécial, c’est la tribu $\mathscr{B}(\mathbb{R}^n),$ la tribu engendre par les ouverts de $\mathbb{R}^n$. Notez que si $B\in \mathscr{B}(\mathbb{R}^n)$, alors la nouvelle tribu $\mathscr{B}(B)=\{A\in \mathscr{B}(\mathbb{R}^n)\;|\;A\subset B\}$. On a aussi $\mathscr{B}(B)=\{A’\cap B\;|\; A’\in \mathscr{B}(\mathbb{R}^n)\}$.

Définition de l’intégral de Lebesgue

Soit $(S,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré. Une fonction simple et positive $f$ peut être écrit comme $f=\sum_{j=1}^k y_j 1_{A_j}$ avec $y_j\ge 0$ et $A_j\in\mathcal{A}$ sont deux à deux disjoints pour tout $j$. Son intégrale est donnée par \begin{align*}\int_S fd\mu=\sum_{j=1}^{k} y_j\mu(A_j).\end{align*}Maintenanant soit $f:S\to [0,\infty]:=\mathbb{R}^+\cup\{+\infty\}$ une fonction mesurable. On peut approximer $f$ d’une manière monotone par des fonctions simples $f_n:S\to [0,+\infty[$. On peut donc définir l’intégrale de $f$ par \begin{align*} \int_S fd\mu=\sup_{n\in\mathbb{N}}\int_S f_nd\mu\in [0,+\infty].\end{align*} La fonction f est dite intégrable si son intégrale est finie.

Notez que L’application $f\mapsto \int_S fd\mu$ est monotone, additive et homogène positive. L’intégrale est nulle si et seulement si $\mu(f\neq 0)=0$.

On note par $f^+=\max(f,0)$ et $f^-=-\min(f,0)$, donc $f^+$ et $f^-$ sont postives. On a alors $f=f^+-f^-$ et $|f|=f^++f^-$.

Dans la suite, pour simplifier ce rappel de cours, nous nous contenterons de considérer les fonctions à valeurs réelles $f$. Une fonction mesurable $f:S\to\mathbb{R}$ est intégrable si ces parités positives $f^+$ et négatives $f^-$ sont intégrables. Donc, outre la mesurabilité de f un n’a qu’à vérifier que le nombre $\int_S |f|d\mu<\infty$. Dans ce cas, l’intégrale de $f$ est \begin{align*} \int_S fd\mu=\int_S f(s)d\mu(s):=\int_S f^+d\mu-\int_S f^-d\mu.\end{align*} On a aussi \begin{align*}\left| \int_S fd\mu\right|\le \int_S |f|d\mu.\end{align*} On écrit $dx$ au lieu de $d\lambda$ ou $d\lambda(x)$ (dans ce cas l’intégrale coïncide avec l’intégrale de Riemann des fonctions continues sur des intervalles de $\mathbb{R}$.)

Pour $f:=(f_1,\cdots,f_k):S\to\mathbb{R}^k$ avec $f_i$ mesurable pour tout $i,$ la fonction $s\mapsto \|f(s)\|_2$ intégrable si et seulement si chaque $f_i$ est intégrable. Dans ce cas, \begin{align*} \int_S fd\mu=\left(\int_S f_1d\mu,\cdots,\int_S f_kd\mu \right).\end{align*}

L’espace de Lebesgue $L^p(\mu)$

Soit $p\in [1,+\infty[$ et soit $f:S\to\mathbb{R}$ une fonction mesurable. On considère la quantité \begin{align*} \|f\|_p:=\left(\int_S |f|^pd\mu\right)^{\frac{1}{p}}\in [0,+\infty].\end{align*}On définit alors l’ensemble\begin{align*}\mathscr{L}^p(\mu)=\mathscr{L}^p(S)=\mathscr{L}^p(S,\mathcal{A},\mu):=\{f:S\to\mathbb{R}\;\text{mesurable}\; \|f\|_p<\infty\}.\end{align*} Il est claire que pour tout $\alpha\in \mathbb{C}$ on a $\|\alpha f\|_p=|\alpha| \|f\|_p$. De plus on a $\|f+g\|_p\le \|f\|_p+\|g\|_p$ pour tout $f,g\in\mathscr{L}^p(\mu),$ selon l’inégalité de Minkowski. Mais $\|f\|_p=0$ implique que $f(s)=0$ pour tout $s\in S\setminus N$ avec $\mu(N)=0$ (nulle presque partout). Cela montre que $f$ n’est pas identiquement nulle, et donc $\|\cdot\|_p$ n’est pas une norme, elle est juste une semi-norme. Pour contourner ce problème, nous introduisons l’ensemble des fonctions nulles presque partout \begin{align*}\mathscr{N}:=\{ f:S\to\mathbb{R}: f=0\;\mu-\text{p.p}\}.\end{align*} On a alors $\mathscr{N}\subset \mathscr{L}^p(\mu)$ pour tout $p\in [1,+\infty[$. On définit alors l’espace \begin{align*}L^p(\mu)=L^p(S)=L^p(S,\mathcal{A},\mu):= \mathscr{L}^p(\mu)/\mathscr{N}=\{\hat{f}=f+\mathscr{N}\;|\; f\in\mathscr{L}^p(\mu)\}.\end{align*} Bien sûr, nous devons supposer que $\mu(S)>0$ pour éviter le cas $L^p(\mu)=\{0\}$. On pose alors \begin{align*} \|f+\mathscr{N}\|_p:=\|f\|_p\end{align*} pour tout $\hat{f}\in L^p(\mu)$. D’autre part, pour $\hat{f}\in L^1(\mu)$ on écrit \begin{align*} \int_S \hat{f}d\mu:=\int_S fd\mu.\end{align*} Ces définitions ne dépendent pas du choix du représentant. Donc $\hat{f}$ est identique à $f$.

Théorème (Riesz–Fischer): Pour $p\in [1,+\infty[$, $(L^p,\|\cdot\|_p)$ est un espace de Banach (espace vectoriel normé complet).

Preuve: Soit $(f_n)_n$ une suite de cauchy dans $L^p(\mu)$. On peut donc construite une suite strictement croissante $(n_j)_j$ des entiers naturel tel que $\|f_l-f_{n_j}\|_p\le 2^{-j}$ pour tout $l\ge n_j$. La fonction $g_j:=f_{n_{j+1}}-f_{n_j}$ satisfait donc l’inégalité $\|g_j\|_p\le 2^{-j}$ pour tout $j\in\mathbb{N}$. Ainsi la série (télescopique) de termes $g_j(s)$ converge absolument. En effet, on pose \begin{align*}s_k:=\left(\int_S \left(\sum_{j=1}^k |g_j(x)|\right)^p d\mu(x)\right)^{\frac{1}{p}}=\left\|\sum_{j=1}^k |g_j|\right\|_p\le \sum_{j=1}^k 2^{-j}\le 1.\end{align*} La function \begin{align*}g:S\to [0,+\infty],\quad g(x)=\sum_{j=1}^{+\infty} |g_j(x)|\end{align*} est mesurable. De plus, selon le lemme de Fatou, on a \begin{align*} \int_S g(x)^pd\mu(x)=\int_S \lim_{k\to\infty}\left(\sum_{j=1}^k |g_j(x)|\right)^p d\mu(x)\le \liminf_{k\to\infty}s_k^p\le 1.\end{align*} Cela implique qu’il existe $N\in\mathcal{A},$ $\mu(N)=0$ et \begin{align*}g(x)=\sum_{j=1}^{+\infty} |g_j(x)|<\infty,\quad\forall x\in S\setminus N.\end{align*} Cela montre la convergence absolue de la série $\sum_{j\ge 1}g_n(x)$ pour tout $x\in S\setminus N$. Il en résulte la convergence des ($k\to\infty$) \begin{align*}f_{n_k}(x)=f_{n_1}(s)+\sum_{j=1}^{+\infty} g_j(x)\to f_{n_k}(x)+\sum_{j=1}^{+\infty} g_j(x):=f(x).\end{align*} Nous avons également mis en place $f(x)=0$ pour tout $x\in N$. Il est bien claire que la fonction $f$ est mesurable. On a aussi \begin{align*} |f_{n_k}|\le |f_{n_1}|+\sum_{j=1}^{k-1} |g_j|\le |f_{n_1}|+g:=h\in L^p(\mu).\end{align*} Le théorème de convergence dominée implique $f\in L^p(\mu)$ et $\|f_{n_k}-f\|_p\to 0$ quand $k\to \infty$. Pour tout $\varepsilon>0$ il exist $j\in\mathbb{N}$ tel que $2^{-j}\le \varepsilon$ et $\|f-f_{n_j}\|_p\le \varepsilon$. Maintenant pour tour $l\ge n_j$, on a \begin{align*} \|f-f_l\|_p\le \|f-f_{n_j}\|_p+\|f_{n_j}-f_l\|_p\le 2\varepsilon.\end{align*} Donc on a monter que la suite de Cauchy converge dans $L^p(\mu),$ c’est donc un Banach.

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