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Exercices sur les fonctions convexes

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On propose des exercices sur les fonctions convexes. Les fonctions convexes sont à la base des preuves d’inégalités en analyse mathématique. En fait, nous allons démontrer des résultats classiques sur la convexité des fonctions.

Sélection d’exercices sur les fonctions convexes

Exercice: Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ une fonction continue par morceaux et $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction convexe continue. En utilisant les somme de Riemann, montrer que\begin{align*}\varphi\left(\frac{1}{b-a}\int^b_a f(t)dt\right)\le \frac{1}{b-a}\int^b_a \varphi(f(t))dt.\end{align*}

Solution: Soit $\{x_k=a+k\frac{b-a}{n}:k=0,1,\cdots,n\}$ une subdivision de l’intervalle $[a,b]$. Soit la somme de Riemann associée à $f,$\begin{align*}R_n=\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k).\end{align*}Comme $f$ est continue par morceaux, alors d’après le cours sur les intégrales de Riemann on a $f$ est intégrale au sens de Riemann et\begin{align*}\int^b_a f(t)dt=\lim_{n\to+\infty} R_n.\end{align*}Puisque $\varphi$ est une fonction continue alors on a aussi\begin{align*}\varphi\left(\frac{1}{b-a}\int^b_a f(t)dt\right)&=\lim_{n\to+\infty} \varphi\left(\frac{R_n}{b-a}\right)\cr & =\lim_{n\to+\infty} \varphi\left( \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k) \right).\end{align*}Comme $\varphi$ est convexe, alors\begin{align*}\varphi\left( \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k) \right)\le \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}(\varphi\circ f)(x_k).\end{align*}D’autre par le fait que la fonction $\varphi\circ f$ est continue par morceaux implique que\begin{align*}\lim_{n\to+\infty} \varphi\left( \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k) \right)= \frac{1}{b-a}\int^b_a (\varphi\circ f)(t)dt.\end{align*}D’où le résultat.

Exercice: Soit $\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\subset\mathbb{R}^\ast_{+}$ et $\lambda_i\in [0,1]$ pour $i=1,\cdots,n$ de somme égale a $1$.

  1.  Montrer que \begin{align*} \prod_{i=1}^n a_i^{\lambda_i}\le \sum_{i=1}^n \lambda_i a_i. \end{align*}
  2. Montrer que \begin{align*} \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\le \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n},\quad \forall n\in\mathbb{N}^\ast.\end{align*}
  3. Montrer que pour tout $A$ et $B$ reels positifs et $p,q\in ]1,+\infty[$ tel que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,$ on a \begin{align*} AB\le \frac{A^p}{p}+\frac{B^q}{q}.\end{align*}
  4. Soit $\alpha,\beta\in [0,1]$ de somme égale a un. Montrer que \begin{align*} \sum_{i=1}^n a_i^{\alpha}b_i^{\beta}\le \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^\alpha\;\left(\sum_{i=1}^n b_i\right)^\beta.\end{align*}

Solution:

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